Forum Studenti

Salve a tutti,
Ho un dilemma su come usare taylor...
Ho una funzione [tex]f (x, y)=xy^{4}-arctan (xy)[/tex], definita su tutto R2
Devo determinare i punti stazionari e stabilire di che tipo sono....essendo l hessiana un procedimento lungo e noioso, come li determino con gli sviluppi di taylor? E come faccio ad intuire di che tipo sono?

allego un possibile svolgimento con entrambi i metodi...non mi pare che in questo caso taylor sia meglio dello studio con l'hessiana

Grazie mille, Gimusi,
non c è un modo per farlo senza stare a determinare le derivate seconde?
Ad esempio mi trovo i punti ponendo il gradiente della funzione pari a zero:
Per stabilire se sono di sella non basta sapere come la funzione si comporta in prossimità di tali punti? Ad esempio se prendo la retta y=1 per (0, 1) non basta vedere come si comparta la funzione in quel caso?

In pratica voglio vedere come si comporta la funzione vicino al punto considerato...
In (0, 1) posso considerare la retta y=1 e vedere che in (t, 1), la funzione
[tex]t-arctant[/tex] ha un flesso in t=0, questo potrebbe bastare per dire che è un punto di sella?
Lo stesso, potrei considerare (t, t) e vedere che la funzione si comporta allos tesso modo in t=0,
potrebbe essere um valido ragionamento?

anch'io ho trovato un problema simile con questa funzione: [tex]f(x,y)=xy/(1+x^4+y^4)[/tex], definita su tutto [tex]R^2[/tex], una volta trovati i punti stazionari facendo il gradiente e risolvendo i sistemi, mi trovo un pò di punti, per vedere di cosa si tratta devo studiare la matrice Hessiana, ma risulta abbastanza lungo questo procedimento ed è facile sbagliarsi, senza contare che c'è la possibilità che poi venga il determinante uguale a 0.
Non ci sono davvero altri metodi?
In questo esercizio ho visto fare questo ragionamento: in [tex](0,0)[/tex] c'è un punto di sella, basta considerare [tex]f(x,x)[/tex] e [tex]f(x, -x)[/tex] vicino a [tex](0,0)[/tex], però non è chiaro il perchè.
Sempre in questo esercizio si dimostra che il limite per [tex]x^2+y^2[/tex] che tendono all'infinito è uguale a [tex]0[/tex], quindi per Weierstrass generalizzato ha punti di massimo e di minimo, perchè? Weierstrass non diceva che se il limite tende a più infinito allora esiste un minimo?

Gimusi è una mano Santa per questo forum!

quando utilizziamo gli sviluppi di Taylor nell'intorno di un punto, come si fa poi a dire se esso è un punto di max/min o altro solo guardando lo sviluppo?

Prendiamo per esempio [tex]f(x, y)=ln(1+x^4+y^2)[/tex], e vogliamo studiare cosa è il punto [tex](0, 0)[/tex],

[tex]H_f(0, 0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex], quindi è semidefinita positiva,

lo sviluppo di ordine [tex]2[/tex] è [tex]y^2[/tex], sapendo che è semidefinita positiva posso dire che si tratta lo stesso di un punto di minimo?