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In dimensione uno vale il discorso che le funzioni derivabili debolmente sono primitive delle proprie derivate deboli, e che dunque se è continua . Abbiamo detto che in dimensione più alta non vale questo fatto, però non mi sono chiare alcune cose:
- il problema è dovuto alla definizione di primitiva per una funzione di più variabili?
- nel controesempio portato (Heaviside) , però e non esistono: esiste un controesempio in cui anche queste ultime esistono eppure ho ancora problemi?

Grazie

Il messaggio di quell'esempio voleva essere: occhio che possono succedere cose strane.

Poi potremmo aggiungere: ma non così strane. Ad esempio dovrebbe essere vero (esercizio ) che se esiste allora per forza esiste . Poi però può accadere che sia bellissima, ad esempio pure nulla, senza che sia molto bella, perché potrebbe dipendere in maniera buffa da y (altro esercizio).

Non ci sono inghippi mistici, ma il problema sta tutto in analisi 2. In che senso una funzione u è la "primitiva" di ? Provando a dare un senso a questa frase si vede che ci sono molti problemi quando siamo nell'ambito delle funzioni che a priori sono solo misurabili. Ad esempio, potremmo dire che



ma immediatamente ci si accorge che u(0,y) potrebbe non avere molto senso.

Altro "esercizio": sarà vero che se e esistono e sono continue, allora u(x,y) è di classe ? E sotto quali condizioni, date due funzioni v e w, possiamo trovare una u che le abbia come derivate parziali?

Grazie della risposta. Se le derivate deboli esistono tutte continue la funzione è , perché la low cost converge uniformemente. Per l'altra questione ho dei problemi... ho pensato di prendere le primitive rispetto a delle approssimanti low cost di e di dimostrare che sono di Cauchy in un compatto , ma porta a qualcosa? Mi sembra strano, perché non noto la differenza tra usare anziché (per la quale sappiamo non funzionare...)

Ops in effetti g non può essere orribile, perché altrimenti lo sarebbe pure f.

Allora qualche speranza c'è (che l'enunciato sia vero). Forse con i sempiterni rapporti incrementali?