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Riporto il testo dell'esercizio.
Siano Hilbert separabile, chiuso, . Determinare se è vero che esiste t.c. per ogni .

Vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.

Ciao! Non mi tornano le ultime due righe, ad esempio se prendo ho che tutti i punti di sono di minimo. L’esempio si dovrebbe sistemare prendendo e considerando sempre , ti convince? In ogni caso non sto dicendo che il tuo esempio non va bene, ma che quanto scritto nelle ultime due righe non sembra funzionare per 0..

Giusto! Avevo appena detto che può essere convergente solo ad elementi di . In effetti l'origine rovina tutto.
Ti ringrazio per il suggerimento.
Prendiamo .
Sia successione. Allora per ogni si ha che esiste tale che con tale che se allora .
è dunque una successione in .
Se esistono e tali che frequentemente allora non ha limite e dunque non lo ha neanche , oppure ha limite uguale a un certo per (e pertanto si avrà anche ). In quest'ultimo caso .
Se invece definitivamente si ha che se , allora , si può dedurre che
.
Per cui non può essere di Cauchy e dunque non può convergere.
Tutto ciò ci dice che è chiuso.
Sia dunque e sia una successione minimizzante. Qualora convergesse, convergerebbe a un certo con della base hilbertiana.
Ma , per cui abbiamo un assurdo.