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Soluzioni?

allego le soluzioni con svolgimento del test n.39 “Forme canoniche 2”

nella rev01 è stato corretto un erroraccio al punto 3c

nella rev02 nei casi in cui gli autovalori sono effettivamente complessi e la forma canonica è una jordan reale, per la determinazione della M reale è stato utilizzato il metodo (molto più rapido) illustrato nella lezione 58 basato sull'impiego degli autovettori coniugati che definiscono la M complessa

per quanto riguarda la prima parte, mi sembrano interessanti i casi con matrice diagonalizzabile in [tex]C[/tex] (d, f, o, s) e determinazione della relativa forma di jordan reale; per questi casi sono state determinate sia la matrice di cambio base per la forma diagonale sia la matrice di cambio di base per la forma di jordan reale; il calcolo di quest’ultima, per i casi non banali, è stato effettuato risolvendo il sistema [tex]AM=MJ[/tex]

un metodo analogo è stato utilizzato nell’ultimo esercizio del test (punto 3f) per determinare una matrice di cambio base tra le due matrici simili (diagonalizzabili in [tex]R[/tex]), risolvendo il sistema [tex]AM=MB[/tex]

ho anche indicato l'altro metodo alternativo per risolvere questo ultimo problema passando per il calcolo delle due [tex]M[/tex] che diagonalizzano [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], per poi combinarle opportunamente; a causa dei radicali i calcoli in questo caso sono più complicati e non li ho portati a termine

un aspetto interessante è che in tutti i casi indicati, nella risoluzione dei sistemi c’è sempre un certo grado di arbitrarietà nella determinazione della matrice [tex]M[/tex]; il primo vettore colonna può essere scelto in modo arbitrario su tutto [tex]R^2[/tex] e in tutti i casi si arriva ad una matrice M che funziona; questa circostanza non mi ha sorpreso per i sistemi [tex]AM=MJ[/tex] (vd. casi analoghi con del precedente test n.38) mentre mi ha lasciato inizialmente un po’ stupito per il sistema AM=BM con A e B diagonalizzabili in R; in realtà una volta fissato [tex]x_1[/tex] il secondo vettore [tex]x_2[/tex] risulta univocamente determinato e quindi il grado di “arbitrarietà” è corrispondente, come deve essere, a quello che si ha nella determinazione degli autovettori con [tex]MG=MA=1[/tex]

Non sono d'accordo sul (3c)

Un'altra cosa che mi chiedo è la seguente: nei casi in cui gli autovalori sono "veramente" complessi, dunque la forma canonica è una Jordan reale, perché non dedurre la M reale direttamente dalla M complessa, con la storia della parte reale e immaginaria?

Scusami gimusi , ma nell'esercizio 1r gli auto valori non hanno il segno opposto?

Nell'esercizio 1f, mi succede una cosa strana:
trovati gli autovalori 2i e -2i, ho preso gli autovettori (1,-2i) e (1,2i) per formare la matrice di cambio di base che mi permette di arrivare alla forma canonica complessa (ho fatto la verifica). Quando però vado a cercare la matrice del cambio di base per arrivare alla forma di jordan reale
(0 2)
(-2 0)
sia usando la risoluzione del sistema A*M = M*J, sia usando il metodo della lezione 58, ottengo matrici di cambio di base sbagliate! infatti quando vado a fare la prova, cioè:
M^(-1)AM mi esce la matrice
(0 -2)
(2 0)

Per farvi capire meglio:
risolvendo il sistema AM=MJ mi esce la matrice M=
(1 1)
(2 -2)
mentre col metodo della lezione 58 esce la matrice
(1 0)
(0 2)
Dov'è il problema?

la matrice M della base jordanizzante non è unica quindi non è strano che ti vengano matrici M differenti

per trovare cosa non va forse dovresti scrivere tutti i passaggi

mi è successa la stessa cosa nell'esercizio 1(o):
dalla matrice di partenza
1 -2
5 -1
ho trovato la forma canonica complessa
3i 0
0 -3i

Quindi ho creato il sistema per trovare gli autovettori:
{x -2y = 3ix
{5x - y = 3iy

da cui

2y = x-3ix
ponendo x= 2 trovo così l'autovettore (rispetto all'autovalore 3i) : (2, 1 -3i).
Uso lo stesso procedimento con l'autovalore -3i e quindi col sistema:
{x-2y = -3ix
{5x-y = -3iy

e la relazione
2y = x+3ix

pongo sempre x= 2 e trovo l'autovettore (2 , 1+3i)

Ora, se metto questi due autovettori come colonne della matrice M di cambio di base, facendo M^(-1)*A*M trovo
-3i 0
0 3i
invece di
3i 0
0 -3i