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Mi scusi Prof, dopo aver determinato se V e W sono in somma diretta, non riesco a capire come proseguire. Cosa dovrei fare? Grazie

mi pare che un esempio sul da farsi sia quello sviluppato nella lezione 36

se la somma è diretta esistono le proiezioni e si costruiscono:

- per ciascun sottospazio le matrici A di proiezione (con input e output nella base non canonica) o A* (input non canonico e output canonico)

- la matrice di cambio di base M (input non canonico e output canonico)

- le matrici di proiezione in base canonica: [tex]MAM^-^1[/tex] oppure [tex]A^*M^-^1[/tex]

allego i risultati del test n.27 "Sottospazi vettoriali 5"

Scusami GIMUSI, ma ho davvero difficoltà a risolvere questo esercizio Potresti svolgerne uno dalla tabella? così vedo esattamente dove sbaglio. Grazie

Grazie mille!!!

GIMUSI, perché V e W nel numero 3 non sono in somma diretta? Non mi torna.

Thank you very much!

A me non è molto chiaro come trovare la matrice della proiezione per ognuno dei sottospazi V e W...cioè...
prendo ad esempio il primo esercizio:
siamo d'accordo che X è somma diretta di V e W, quindi ha come base i 2 vettori (2,3) e (1,1)...
ora, se prendo un qualsiasi vettore di R^2 questo dovrà essere espresso in modo unico come somma di un elemento di V e uno di W...
Trovare la matrice di proiezione relativa a V...che significa? Graficamente che si sta cercando di fare?
Probabilmente non mi sto spiegando....allora se prendo ad esempio il vettore (2,3), la sua proiezione su V è (1,0)?? e invece la proiezione del vettore (1,1) qual è?

Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate...
Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W?
Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice?

Scusa se sono troppe domande, ma è meglio togliersi i dubbi una volta per tutte! XD

E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà?
Nel caso dell'esercizio in questione l'intersezione ha invece dimensione 1, mentre il sottospazio somma V+W ha dimensione 3...il fatto che siamo in R^3 però non implica che ci sia somma diretta perchè l'intersezione non ha comunque dimensione 0 ?

Mi scuso nuovamente per la marea di domande che ho posto!