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Hai presente gli esercizi sulle applicazioni lineari dove avevo l'immagine e ricavavo i coefficienti della combinazione lineare facendo il matricione e lavorando alla gauss fino alla I a sinistra? Questo. Va bene? E perchè funziona?
e già che ci siamo come hai trovato la base per l'immagine?

Quando vado a mettere a sinistra i v1, v2 ecc dati metto le componenti rispetto alla canonica di quei vettori. A destra faccio lo stesso per i w1, w2 ecc. Facendo gauss - Jordan vado a fare B M^-1. No?

Nell'ultimo esercizio, il sistema, se λ = 9 ho infinite soluzioni perchè avrei 0=0 e quindi dipendenti da z. O no?

delle soluzioni postate da GIMUSI:

1) non mi torna la base di [tex]dim( V \cap W)[/tex]:
mi viene [tex]x^3 - x^2 - x + 2[/tex]

2) la soluzione dell'esercizio 4 punto a:
[tex](x,y,z) = (\frac{124}{27}, \frac{-29}{9}, \frac{2}{9})[/tex]

hai ragione, mia idiozia!

@GIMUSI

Nel quarto esercizio hai fatto un errore di copiatura del testo.. Precisamente hai scritto [tex]y + z = +1[/tex] anzichè [tex]y + z = -1[/tex] e di conseguenza ti vengono soluzioni sbagliate..

A me per il punto A) mi viene x=2 , y = -1 e z = 0; per il punto B) soluzione unica per lambda uguale a +9; per il punto C) per lambda diverso da -9: soluzione unica, per lambda uguale a -9: soluzioni infinite ponendo z = t. (Ho già fatto tutte le verifiche necessarie)

@Per il Professore: Le va bene se in un giorno in cui fa lezione a TLC le consegnassi lo svolgimento per vedere a che punto sono arrivato? (sostanzialmente per verificare se il lavoro svolto finora vale qualcosa..)

Nello svolgimento del primo esercizio il procedimento che ho usato è questo:
ho scritto il piano in forma parametrica A+t(B-A)+s(C-A) ottenendo (0 0 1)+t(0 2 -1)+s(-1 2 2).
A questo punto con la formula misteriosa (tra l'altro mi piacerebbe sapere se ci si può riferire ad essa chiamandola rotore) ottengo il vettore a=(6 1 2) perpendicolare al piano ABC. Da qui ho usato la formula area(ABC)=(1/2)*(sqrt(41)) con sqrt(41)=norma di a.
Poi ho parametrizzato la retta passante per D e perpendicolare al piano così: (0 1 1)+r(6 1 2)
Successivamente ho posto le due parametrizzazioni uguali per trovare il punto di intersezione ottenendo il sistema
-s=6r
2t+2s=1+r
1-t+2s=1+2r
La cui soluzione mi ha dato r=-1/41 dal quale ho ricavato il punto P=(-6/31 -40/41 29/41)
Quindi la dist(D,P)=1/sqrt(41)
Infine il volume viene:
VOL=(Area di base * altezza)/3 cioè (1/2)*sqrt(41)*(1/sqrt(41))*1/3=1/6
Ho corretto il mio banale errore di calcolo,spero possa servire a qualcuno lo svolgimento