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Non ho capito il ragionamento di GIMUSI per l'esercizio 2.a , dato che non abbiamo punti fissi non dovremmo controllare la molteplicità dell'autovalore 1 ?

Riesumo il post dopo mesi, ma un dubbio sulla risoluzione del 4c mi attanaglia.

Parto dalle conclusioni a cui è giunto Gimusi: non esistono valori di a per cui una matrice ortogonale trasformi Ba nell'identità.
Ora mi chiedo: non abbiamo dimostrato il contrario con a=0 al punto precedente? Abbiamo visto (con tanto di riprova) che M^t*B_0*M=Id, ma M è formata da vettori ortonormali, il che dovrebbe fare di essa una matrice ortogonale, quindi almeno per a=0 esiste una matrice ortogonale per la quale Ba è congruente all'identità.

In modo più generale, non sappiamo che una matrice simmetrica definita positiva è congruente all'identità se si usa un cambio di base ortonormale? Questa matrice di cambio di base, essendo formata da vettori ortonormali (rispetto a B) non è di conseguenza B-ortogonale? Se così fosse, dovrebbe seguire che tutti i valori per cui Ba è definita positiva (vedere punto a) ammettono una matrice ortogonale come si richiede.

Ora, io credo più a Gimusi che a me stesso, onestamente, per cui spiegatemi dove sbaglio

La M che dici tu sarebbe B-ortogonale, mentre quella richiesta dal testo è ortogonale e basta (cioè con inversa uguale alla trasposta), cioè in un certo senso ortogonale rispetto al canonico.

Perfetto, adesso torna tutto! grazie mille, come sempre!