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con Sylvester si impara sempre qualcosa...non avevo mai pensato di impiegarlo anche per determinare i sottospazi nei quali la forma è definita positiva...proverò a svolgere qualche esempio per vedere se ho afferrato l'idea

Avevo intuito che non andasse bene sempre...però non sapevo in quali casi!
Per quanto riguarda il completamento dei quadrati avete qualche consiglio/suggerimento? perchè qualche volta mi trovo in difficoltà a riportarmi in una forma "comoda"

Nell'esercizio 2 punto a, ti torna che un sottospazio possa essere [tex]W=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex] oppure [tex]W=span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex]?

In simulazione scritto d'esame 4, esercizio 2, punto a, il quale chiede di determinare un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma quadratica risulta definita positiva

da [tex]q(x,y,z)=y^2+2xy-6yz+xz[/tex], mi sono riportato alla forma: [tex]q(x,y,z)=(x+y+1/2z)^2-x^2-7yz-1/4z^2[/tex].

A questo punto ho notato che se prendo [tex]x=0, y=t, z=0[/tex], quindi [tex]V1=(0,t,0)[/tex] ottengo [tex]q(V1)>0[/tex].

Se prendo [tex]x=t, y=s, z=0[/tex], ottengo [tex]V2=(t,s,0)[/tex] e [tex]q(V2)>0[/tex].

Quindi un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma è definita positiva è [tex]V=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex].

Allo stesso modo ho ragionato per trovare un altro sottospazio [tex]W=Span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex].

Sinceramente la lineare indipendenza non l'avevo controllata, è un errore?

Avrei anche un altra domanda: Se la matrice associata alla forma quadratica B, la quale è simmetrica, fosse stata definita positiva, avrei potuto trovare gli autovettori ortogonali e avrei potuto normalizzarli...ottenuta la base ortonormale M, mi trovo una nuova matrice C diagonale, con la quale posso scomporre la forma quadratica, giusto?
Ora, visto che per a=1 la matrice non è definita positiva, non posso scomporre la forma quadratica mediante una nuova matrice C.
Però, posso comunque provare a diagonalizzarla, se autovalori e molteplicità me lo consentono, e scomporre la forma con questa nuova matrice diagonale D?