ho il tuo stesso problema.. nelle soluzioni c'è scritto -4/9 ma mi viene -8/9..
ti posto il mio procedimento che potrebbe esserti d'aiuto (cosi magari potresti trovare l'errore che non riesco a trovare
)
innanzitutto faccio gli sviluppi con n=2 (cosi al den rimane almeno "x^2")
1) sviluppo le radici (ho scartato la razionalizzazione, dato che ci pensa taylor) e ottengo (se non ho fatto errori)
(1 + x) ^ [1/3] = 1 + (1/3)*x - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)
e poi (questa è la parte su cui ho qualche dubbio sul risultato)
(1 - x) ^ [1/3] questo l'ho fatto calcolando le derivate (se c'è un metodo più veloce usando lo sviluppo di (1 + x)^"alfa" sicuramente non l'ho usato), e mi è venuto:
= 1 - (1/3)*x - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)
lo sviluppo del coseno c'è già (eventualmente è nei pdf)
ora sostituisco tutto (spero si capisa, altrimenti "linko" un immagine)
2)
ps. i puntini mi servono affinche il sito non mi levi gli spazi, cosi la frazione rimane ordinata, inoltre metto l'opiccolo alla fine
....... 1 + (1/3)*x - (2/9)*x^2 + 1 - (1/3)*x - (2/9)*x^2 - 2 + opiccolo(x^2)
lim----------------------------------------------------------------------------------
x->0...1 - 1 + (1/2)*x^2 + opiccolo(x^2)
vanno via:
1) gli "uni" con il -2
2) + (1/3)*x con -(1/3)*x
3) al denominatore va via 1 con -1
rimane
....... - (2/9)*x^2 - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)
lim---------------------------------------------------------
x->0.........(1/2)*x^2 + opiccolo(x^2)
-(2/9) - (2/9) fa -(4/9) (non vedo perchè non dovrebbe)
poi raccolgo le x^2
....... x^2*[-(4/9) + opiccolo(x^2)/x^2]
lim-------------------------------------------------------
x->0.........x^2*[(1/2) + opiccolo(x^2)/x^2]
1) si semplifica x^2 al num con x^2 al den
2) opiccolo(x^2) / x^2 tende a 0 per x->0
mi rimane -(4/9) / (1/2) e ottengo -(8/9)
ma la soluzione è un altra... se c'è un errore allora vi scongiuro: ditemelo!! così è un problema in meno che mi rimane in testa
edit: ps: forse il "trucchettino" per (1 - x)^"alfa" era quello di mettere y=-x ma l'ho scoperto ora... meglio tardi che mai (7 giorni!!!)
