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determinare l'ordine di infinitesimo
Inviato: giovedì 31 dicembre 2015, 22:18
da Help!
Buongiorno
Io mi sono bloccato in un esercizio che chiedeva la determinazione dell'ordine di infinitesimo e la parte principale p(x) della seguente funzione f(x):
sin( Pi * cosx ) per x che tende a Pi
nella soluzione l'ordine di infinitesimo di f(x) è 2
mentre la parte principale p(x)= (-Pi/2)*(x-Pi)^2
ho provato senza riuscirci usando principalmente limiti notevoli e o piccolo
Grazie in anticipo!
Re: determinare l'ordine di infinitesimo
Inviato: venerdì 1 gennaio 2016, 11:39
da GIMUSI
allego un possibile svolgimento...probabilmente migliorabile...che ne pensi?
colgo l'occasione per augurare un BUON NUOVO ANNO a tutto il popolo del forum!
Re: determinare l'ordine di infinitesimo
Inviato: sabato 2 gennaio 2016, 1:12
da Help!
Buon anno 2016 anche a Lei e a coloro che hanno collaborato alla creazione e organizzanione di questo sito.
Per quanto riguarda l'esercizio, data la funzione in questione
![Immagine](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3Af(x)%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%3D%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3Asin%5B%20%5Cpi%20cos(x)%5D%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3Aper%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3Ax%20%20%5Cmapsto%20%20%5Cpi%20&chf=bg%2Cs%2CDAA520&chco=000000&chs=20)
non capisco il passaggio trigonometrico per arrivare a determinare l'uguaglianza
![Immagine](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3Asin%5B%20%5Cpi%20cos(x)%5D%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%3D%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A-sin%5B%5Cpi%2B%5Cpi%20cos(x)%5D%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A%5C%3A&chf=bg%2Cs%2CDAA520&chco=000000&chs=20)
Thank you very much!
Re: determinare l'ordine di infinitesimo
Inviato: sabato 2 gennaio 2016, 10:37
da GIMUSI
Re: determinare l'ordine di infinitesimo
Inviato: lunedì 4 gennaio 2016, 21:06
da Massimo Gobbino
Io lo avrei fatto così (che poi è praticamente la stessa soluzione di GIMUSI). Parto con cambio di variabili e precorso
[tex]\sin(\pi\cos(\pi+h))=\sin(-\pi\cos h)=-\sin(\pi\cos h)[/tex]
Poi sviluppo il coseno (per semplicità non metto gli [tex]o(h^2)[/tex] che andrebbero messi ovunque)
[tex]-\sin(\pi\cos h)=-\sin\left[\pi\left(1-\dfrac{h^2}{2}\right)\right]=-\sin\left[\pi-\dfrac{\pi h^2}{2}\right][/tex]
Ora di nuovo precorso e sviluppo del seno (sempre trascurando i soliti o piccolo)
[tex]-\sin\left[\pi-\dfrac{\pi h^2}{2}\right]=\sin\left(-\dfrac{\pi h^2}{2}\right)=-\dfrac{\pi h^2}{2}[/tex]
ed il gioco è fatto.
Segnalo anche due approcci alternativi. Il primo è sviluppare la funzione data di ordine due con centro in pi greco, calcolando i coefficienti facendo le derivate (approccio orribile, ma in questo caso praticabile). Il secondo è molto a posteriori, cioè verificare che
[tex]\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin(\pi\cos x)}{(x-\pi)^2}=-\frac{\pi}{2}[/tex]
cosa che si può fare con solo cambi di variabili, precorso e limiti notevoli, senza mai nemmeno nominare o piccolo.
Re: determinare l'ordine di infinitesimo
Inviato: martedì 5 gennaio 2016, 20:30
da Help!
Grazie infinite!