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limite
Inviato: domenica 29 novembre 2015, 17:33
da francicko
Salve!
Ho un problema con il seguente limite:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n!}{e^{n^2}}[/tex],
si può far vedere che il risultato è 0 usando semplicemente il principio di induzione?
Grazie per le eventuali risposte!
Re: limite
Inviato: domenica 29 novembre 2015, 19:41
da GIMUSI
ma un bel criterio del rapporto no eh
allego un tentativo alternativo con doppia induzione!!!...ma non me ne assumo alcuna responsabilità eh (e magari ci sono vie più dirette
)...che ne dici?
Re: limite
Inviato: domenica 29 novembre 2015, 23:33
da francicko
Grazie tante per le risposte!!
Se a posto di [tex]n^2[/tex]a denominatore come esponente abbiamo semplicemente [tex]n[/tex] il nostro limite da come risultato infinito, ed idem sarebbe dimostrabile sempre con l'induzione, giusto?
Quest' ultimo implicherebbe che il limite della radice ennesima di [tex]n![/tex] va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro.
Re: limite
Inviato: lunedì 30 novembre 2015, 8:53
da Massimo Gobbino
Re: limite
Inviato: lunedì 30 novembre 2015, 23:27
da francicko
Scusi se insisto, ma [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {n!}{e^n}[/tex] si può scrivere nella forma [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {e^{\log n!}}{e^n}=+\infty[/tex], da qui non si deduce che [tex]\log n![/tex] tende più velocemente ad [tex]+\infty[/tex] di [tex]n[/tex]?
Quindi deve essere [tex]\displaystyle\lim_{n\to\+\infty}\frac {\log n!}{n}=+\infty[/tex], cioe' [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\log({n!}^{1/n}})=+\infty[/tex], pertanto deve aversi [tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{{n!}^{1/n}=+\infty}[/tex]
e' un ragionamento errato?
Re: limite
Inviato: martedì 1 dicembre 2015, 0:00
da GIMUSI
però anche [tex]\frac{e^{2n}}{e^{n}}[/tex] tende a +inf ma [tex]\frac{{2n}}{{n}}[/tex] a 2
Re: limite
Inviato: martedì 1 dicembre 2015, 9:08
da francicko
Avete ragione! Scusatemi per la banalita' della domanda.
Re: limite
Inviato: martedì 1 dicembre 2015, 10:35
da GIMUSI
non devi scusarti di nulla, benedetti i dubbi!!! io ne ho tonnellate...