Salve a tutti,
sto svolgendo i limiti di funzioni e vi e' un esercizio (sicuramente) semplice che pero' mi sta dando qualche problema...
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{sinx}\right)[/tex]
Un passaggio riesco a svolgerlo ma poi dopo non so come proseguire...
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{sinx}\right)[/tex] = [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(cosx^\left(\frac{x}{sinx}\right)\right)^\frac{1}{x}[/tex]
sinx/x = 1 quindi rimango con
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] da qui in poi non mi viene in mente altro (ho provato anche con il trucco dell'esponenziale ma la cosa si complica ulteriormente)
Grazie e buona Pasqua a tutti!
Limiti di funzioni
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Re: Limiti di funzioni
con i limiti indeterminati del tipo [tex]f(x)^{g(x)}[/tex] è conveniente utilizzare l'esponenziale per ricondursi a casi più semplici
[tex]f(x)^{g(x)}[/tex][tex]= e^{logf(x)^{g(x)}}[/tex][tex]=e^{g(x)logf(x)}}[/tex]
nel caso in esame il limite dovrebbe essere 1
allego qui lo svolgimento
[tex]f(x)^{g(x)}[/tex][tex]= e^{logf(x)^{g(x)}}[/tex][tex]=e^{g(x)logf(x)}}[/tex]
nel caso in esame il limite dovrebbe essere 1
allego qui lo svolgimento
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GIMUSI
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Re: Limiti di funzioni
Ciao Gimusi,
non capisco una cosa pero'
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}e^\frac{ln(\cos x)}{\sin x}[/tex] , [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0[/tex]
Io pero' non conosco ancora Hopital ne' altri teoremi, solo limiti di funzioni notevoli e cambio di variabile.
Questo limite e' sotto la sezione "Limiti notevoli" e immagino che ci sia un modo di risolverlo senza usare Hopital...
La mia domanda e' : come dimostro che [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0[/tex] solo coi limiti notevoli?
Mateusz.
non capisco una cosa pero'
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}e^\frac{ln(\cos x)}{\sin x}[/tex] , [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0[/tex]
Io pero' non conosco ancora Hopital ne' altri teoremi, solo limiti di funzioni notevoli e cambio di variabile.
Questo limite e' sotto la sezione "Limiti notevoli" e immagino che ci sia un modo di risolverlo senza usare Hopital...
La mia domanda e' : come dimostro che [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0[/tex] solo coi limiti notevoli?
Mateusz.
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Re: Limiti di funzioni
tra l'altro l'hopital è un po' brutale e poco elegante...
allego un possibile svolgimento tramite limite notevoli![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
allego un possibile svolgimento tramite limite notevoli
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Re: Limiti di funzioni
Si cosi' mi e' piu' chiaro grazie! Non ci avevo proprio pensato di elevare il sin al quadrato e moltiplicare per 1/2.
C'e' un'ultima cosa che vorrei chiedere, nella soluzione hai detto che
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x} = -1[/tex] ma come si dimostra? Io conosco questo che ci assomiglia come limite notevole... [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1[/tex] o hai usato sempre Hopital o qualche altro teorema?
Mateusz.
C'e' un'ultima cosa che vorrei chiedere, nella soluzione hai detto che
[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x} = -1[/tex] ma come si dimostra? Io conosco questo che ci assomiglia come limite notevole... [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1[/tex] o hai usato sempre Hopital o qualche altro teorema?
Mateusz.
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Re: Limiti di funzioni
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Re: Limiti di funzioni
certo, tutto chiaro!
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