Limiti di funzioni - esercizi

[we_love_M_Gobbino]

Buona sera,
Durante lo svolgimento di alcuni esercizi mi sono imbattuto in alcuni casi che non sono riuscito ad ultimare, le riporto le tracce con le strade intraprese nei vari casi, sarebbe così gentile da indirizzarmi verso una corrretta procedura così da poter ultimare correttamente l'ersercizio?

[tex]1) \lim_{x \to 0 } \frac{sin(arctan (x))}{x}[/tex] ho seguito questo ragionamento:
[tex]- 1 \le sin(mostro) \le 1[/tex] quindi dividendo tutto per x ottengo che [tex]- \frac{1}{x} \le \frac{sin(mostro)}{x} \le \frac{1}{x}[/tex] per [tex]x \to 0[/tex] il [tex]\lim_{x \to 0 } \frac{1}{x} = N.E.[/tex] quindi per i carabinieri se il limite è compreso fra due limiti N. E. allora anche il limite risulterà N.E.
Il ragionamento è corretto? Se si, come posso svilupparlo in modo rigoroso?

[tex]2) \lim_{x \to 0} 1+|sin x|^{\frac{1}{x}} = [(1+ \frac{1}{\frac{1}{|sin x|}})^{\frac{1}{|sin x|}}]^{\frac{|sin x|}{x}} = e^\frac{|sin x|}{x}[/tex]

[tex]3) \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} + log(sen x)[/tex]

[tex]4) \lim_ {x \to 0} \frac{2^{3x} -1}{x}[/tex]

[Massimo Gobbino]

Suvvia, mi sembrano limiti abbastanza basic, quindi un ottimo esercizio di riscaldamento per tutti, che non dovrebbe prendere più di 4 minuti (uno a limite) in sede di preparazione. Qualcuno scriva due righe, magari iniziando con i risultati ...

[we_love_M_Gobbino]

Per quanto riguarda il primo ho provato ad usare gli sviluppini seguendo questa procedura

[tex]sinx = x + o(x)[/tex] quindi [tex]sin(arctg(x)) = arctg(x)+ o(arctg(x))[/tex] sapendo che [tex]arctg(x) = x + o(x)[/tex] avremo che il limite sarà uguale a

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{x+o(x)}{x} = 1[/tex]

Il risultato combacia con quello fornitomi dal Derive 6. Sul sito da cui ho preso l'esercizio il risultato dell'esercizio viene segnato come [tex]\pi[/tex], sono sulla strada giusta?