Limite

[francicko]

Da qualche parte su intrnet, ho letto il seguente limite che mi ha incuriosito molto:
limite per [tex]x[/tex] tendente ad infinito di [tex]((1+1/x)^x-e)x[/tex], come risultato deve aversi [tex]-(e/2)[/tex],
avendo una forma indeterminata zero per infinito ed il coinvolgimento di termini successivi, ho usato lo sviluppo in serie di taylor della funzione [tex](1+1/x)^x=e-e/2x+....[/tex] pertanto si ha [tex](e-e/(2x)-e)x=-e/2[/tex], e tutto torna, però si richiede la soluzione con il solo uso di limiti notevoli, a me sembra però apparentemente che non ci sia nessuna forma notevole a cui ricondursi, potreste darmi qualche suggerimento ?

[Massimo Gobbino]

Beh, parlare di sviluppo di Taylor della funzione [tex](1+1/x)^x[/tex] è per lo meno un po' abusivo ... Formalmente, bisognerebbe cambiare variabile ponendo [tex]h=1/x[/tex], così intanto h tende a 0, poi passare all'esponenziale e sviluppare il logaritmo ...

Facendo così si vedrebbe che il limite proposto coinvolge il *secondo termine* dello sviluppo di Taylor del logaritmo, quindi sostanzialmente non c'è verso di farlo con i classici limiti notevoli (che invece sono equivalenti al primo termine dello sviluppo di Taylor).

[francicko]

Chiarissimo;Grazie!!