Esercizio n. 13 Equazioni n. 3

[kyra84]

Buongiorno.. con un mio collega universitario stiamo svolgendo gli esercizi di cui alla scheda in oggetto e ci è sorto un dubbio sull'esercizio n. 13.

|x+2|+|x+4|= 2

Fatti 4 sistemi ++,+-,++,-+,
I risultati vengono:
sistema ++ x=-2
sistem +- No soluzioni perché le prime due condizioni non sono compatibili ( x=> -2 e x < -4)
Sistema -- No soluzioni

Il problema sorge in sistema -+
x< -2
x=> -4 e fin qui tutto ok
-x-2+x+4=2
Per me ha soluzioni infinite come da soluzione indicata dal docente in quanto essendo x annullato è sempre vera..
Ma per il mio collega ha soluzioni infinite nell'intervallo [-4;-2)
Potreste spiegarci come mai ha soluzioni infite l'equazione di partenza?

Grazie
Francesca e Stefano

[Andrea 2]

Posso rispondere solo da studente liceale, però credo di avere ragione ! L'equazione ha infinite soluzioni della x, non solo quelle comprese tra l'intervallo del suo collega. Se la x "se ne va", allora se ne va per qualunque valore diamo alla x. Se svolgendo i conti alla x date valore 4000, alla fine si annulla in ogni caso per questioni aritmetiche. Se nel testo alla x date valore ad esempio 100 ed essendo i due valori assoluti con i segni - e +, ottenete sempre e in ogni caso un'identità perchè nel caso in questione si avrebbe 104-102=2. Poi che sia 4004-4002, oppure 546674-546672 il risultato viene sempre 2=2, non vedo il motivo per cui i valori delle x dovrebbero essere limitati dalla condizione di essere compresi tra -4 e -2...In generale è come se prendessi un'identità A=A e chiedessi per quale valore di B è vera. Siccome B non partecipa nell'identità è chiaro che qualunque valore gli venga assegnato non può influire in nessun modo sull'identità in questione, e quindi qualunque valore va bene. Dire che è vera solo per un intervallo di valori, per quanto questi valori siano infiniti, è come affermare che 1=1 solo se la x è compresa tra 2 e 3, che credo che sia un'assurdità totale !

[Massimo Gobbino]

Le infinite soluzioni sono tutto l'intervallo [-4,-2], estremi compresi. E' vero infatti che si ottiene un'identità (che di per sé sarebbe verificata per ogni x), ma la scelta dei segni che porta a quell'identità è valida solo in un determinato intervallo.

Tracciare il grafico della funzione può aiutare a capire meglio la situazione. Viene una spezzata del tipo \_/, dove il tratto piatto è proprio ad altezza 2. Provare per credere ...

[kyra84]

grazie mille!! ora è più chiaro !!
Buoan giornata!

[Andrea 2]

Avete ragione, non avevo pensato che l'identità non andava considerata da sola ma messa a sistema con le altre due disequazioni del "campo di esistenza", per cui la soluzione viene effettivamente [-4;-2] ...