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Siano insiemi, e delle funzioni secondo la definizione "rigorosa" della lezione 003 con e .
è la funzione composta definita in questo modo:
prendo l'unico per cui e poi prendo l'unico per cui , in questo modo ho sempre un unico per cui
Possiamo poi definire come l'unico che rispetta la relazione .

Quello che uno vorrebbe fare è definire H a partire da F e G, senza mai nemmeno nominare le fantomatiche "leggi" f e g.

Siano A, B, C tre insiemi non vuoti;

sia F AB tc. F è una funzione.
sia G BC tc. G è una funzione.

dove la proposizione "è una funzione" significa tutto quello scritto al punto 2, riadattando i nomi.

considero ora il seguente insieme:

H= { (a,c) A C, tc. b B tc. ( (a,b) F, e (b,c) }

2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:

- a A c C, tc. (a,c) H;
- (a,), (a,) H =;

proviamo la prima:
prendo a A, esiste b B tale che (a,b) F, perchè F è una funzione. ora c C tc. (b,c) G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H;

proviamo la seconda:
siano (a,) e (a,) H; allora esistono e tali che
- (a, ) F
-(a, ) F

- (, ) G;
- (, ) G;

poichè F è una funzione, ) deve essere uguale a ); (non puo essere che a assuma 2 valori)

quindi si deve avere che
- (, ) G;
- (, ) G;

poichè G è una funzione =( non può essere che assuma due valori)

dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare H la "composizione di G con F";

Grazie!

La costruzione/dimostrazione di Giacomo è sostanzialmente corretta, a parte un po' di segni di "contenuto" che invece dovrebbero essere "appartiene".

Forse poi sarebbe stato meglio nel finale usare e invece di c e d, soltanto per simmetria con l'uso di e .

Un pò in ritardo ma dovrei aver sistemato gli errori, come indicato dal professore