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ciao!

la serie

[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left( \frac{\pi}{2} -\arctan x\right)[/tex]

è equivalente alla serie

[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \arctan \frac{1}{n}[/tex] , essendo nota l'identità trigonomentrica

[tex]\displaystyle\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-\arctan x[/tex];

allora la serie risulta divergente per confronto in quanto:

[tex]\displaystyle\arctan \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}\to \text{diverge}[/tex]

Ottimo!

In alternativa, si poteva fare il confronto asintotico con [tex]\displaystyle\frac{1}{n}[/tex], ricorrendo a De l'Hopital (dopo aver cambiato il limite in n con il limite per x che tende a + infinito) per fare il limite che vien fuori.

@utente91: quella che fai tu è solo la verifica della condizione necessaria, che dice semplicemente che la serie può convergere, senza sbilanciarsi sul sì o sul no!