Problema con Es. n°2 esame 9/07/2011 AnMat2
Inviato: martedì 14 luglio 2015, 19:53
Sia [tex]V_{\alpha }[/tex] il solido ottenuto da una rotazione di un angolo [tex]\alpha[/tex] intorno all'asse delle z del triangolo T di vertici [tex]\left ( 1,0 \right ), \left (1,1 \right ), \left (0,2 \right )[/tex].
(a) Determinare il volume e le coordinate del baricentro di [tex]V_{\alpha }[/tex] nel caso in cui [tex]\alpha = 2\pi[/tex] (rotazione completa).
(b) Fare lo stesso nel caso in cui [tex]\alpha \leq \pi[/tex].
Per il primo punto tutto ok, è il classico Guldino per solidi di rotazione da applicare. Anche per le coordinate del baricentro tutto ok.
Il secondo punto, invece, mi crea un po' di problemi. Per calcolare il volume basta mettere [tex]\alpha[/tex] al posto di [tex]2\pi[/tex] perché la rotazione non è completa, ma solo di [tex]\alpha[/tex]. Per quanto riguarda le coordinate del baricentro di questo nuovo solido, non capisco proprio come impostare l'integrale. Tra gli "aiutini" (sì prof, li ho consultati solo dopo averci riflettuto parecchio su, lo giuro), c'è scritto di usare le coordinate cilindriche, cioè (essendo T nel piano yz): [tex]x= \rho sin\theta , y= \rho cos\theta , z= u[/tex] con [tex]\theta \in \left [ 0, 2\pi \right ][/tex] in modo che [tex]\left ( \rho , u \right ) \in T[/tex]. Non capisco come impostare l'integrale.
Ad esempio, per la coordinata [tex]x_{G}[/tex]:
[tex]x_{G}= \frac{1}{Vol(V_{\alpha })} \int \int \int_{V_{\alpha }} x dxdydz= \int_{0}^{1} \rho ^{2}d\rho \int_{0}^{\alpha } sin\theta d\theta \int_{?}^{?} dz[/tex]
P.S. Che utilità ha cambiare variabile da z a u?
Help!
(a) Determinare il volume e le coordinate del baricentro di [tex]V_{\alpha }[/tex] nel caso in cui [tex]\alpha = 2\pi[/tex] (rotazione completa).
(b) Fare lo stesso nel caso in cui [tex]\alpha \leq \pi[/tex].
Per il primo punto tutto ok, è il classico Guldino per solidi di rotazione da applicare. Anche per le coordinate del baricentro tutto ok.
Il secondo punto, invece, mi crea un po' di problemi. Per calcolare il volume basta mettere [tex]\alpha[/tex] al posto di [tex]2\pi[/tex] perché la rotazione non è completa, ma solo di [tex]\alpha[/tex]. Per quanto riguarda le coordinate del baricentro di questo nuovo solido, non capisco proprio come impostare l'integrale. Tra gli "aiutini" (sì prof, li ho consultati solo dopo averci riflettuto parecchio su, lo giuro), c'è scritto di usare le coordinate cilindriche, cioè (essendo T nel piano yz): [tex]x= \rho sin\theta , y= \rho cos\theta , z= u[/tex] con [tex]\theta \in \left [ 0, 2\pi \right ][/tex] in modo che [tex]\left ( \rho , u \right ) \in T[/tex]. Non capisco come impostare l'integrale.
Ad esempio, per la coordinata [tex]x_{G}[/tex]:
[tex]x_{G}= \frac{1}{Vol(V_{\alpha })} \int \int \int_{V_{\alpha }} x dxdydz= \int_{0}^{1} \rho ^{2}d\rho \int_{0}^{\alpha } sin\theta d\theta \int_{?}^{?} dz[/tex]
P.S. Che utilità ha cambiare variabile da z a u?
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