integrali improprio

db89 · #1 Messaggioda **db89** » venerdì 30 gennaio 2009, 11:24

l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?

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Per la convergenza basta confrontare con e^{-x}, per calcolare il valore non resta che fare la primitiva per sostituzione.

Noisemaker

db89 ha scritto:l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}$

anzitutto si osseva che la funzione integranda risulta definita per ogni $\displaystyle x\not=\frac{\ln2}{2}<1$ e positiva per $\displaystyle x>\frac{\ln2}{2}$ e negativa per $\displaystyle x<\frac{\ln2}{2}$ , quindi si ha singolarità solo a $+\infty$ , essendo appunto $\displaystyle \frac{\ln2}{2}<1$ e quindi fuori dall' intervallo di integrazione; inoltre in $[1,+\infty)$ la funzione integranda risulta positiva e si puo quindi considerare il comportamento asintotico:

- $x\to +\infty$

$\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-2}\sim \frac{e^x}{e^{2x} }= \frac{1}{e^{ x} }\to$ converge

se poi si vuole valutare il valore dell'area, si ha che posto:

$\displaystyle e^x=t\to x=\ln t \to dx=\frac{1}{t} dt$ , l'integrale diviene:

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}\to \int\frac{t}{t^{2 }-2}\cdot \frac{1}{t} dt=\int\frac{dt}{t^{2 }-2}$ $\displaystyle=\int\frac{dt}{(t -\sqrt2)(t+\sqrt2)}$ $\displaystyle=\int\frac{A}{t -\sqrt2}dt+\int\frac{B}{t+\sqrt2} dt=A\ln|t-\sqrt2|+B\ln|t+\sqrt2|$

$\displaystyle=A\ln|e^x-\sqrt2|+B\ln|e^x+\sqrt2|$ $\displaystyle= \frac{1}{2\sqrt2}}\ln|e^x-\sqrt2|- \frac{1}{2\sqrt2}\ln|e^x+\sqrt2|$ $\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|$

dove: $\displaystyle A=\frac{1}{2\sqrt2}\quad B=-\frac{1}{2\sqrt2}$

Allora

$\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}=\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty}$ $=\displaystyle 0-\Big(\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\Big)\sim 0.4$

Sito web

Ad essere formali non bisogna "sostituire +infinito", ma fare il limite come nella definizione di integrale improprio.

Noisemaker

Massimo Gobbino ha scritto:Ad essere formali non bisogna "sostituire +infinito", ma fare il limite come nella definizione di integrale improprio.

si effettivamente è giusto, ho scritto direttamente il risultato del limite ....

$\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}=$ $\displaystyle\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty}=$ $\displaystyle \left(\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^k-\sqrt2}{e^k+\sqrt2}\right) - \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}=$ $\displaystyle0- \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\sim 0.4$

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