Integrale triplo nullo

[Federico.M]

Salve, ho il seguente esercizio da risolvere:
Calcolare l'integrale triplo sull'insieme [math]D=\{(x,y,z)\in R^3\,:\,x^2+y^2\le 1,\,0\le z\le x^2\} della funzione [math]f(x,y,z)=\arctan(xy^2z^3).
Adesso, è sufficiente affermare che l'integrale è nullo perché la funzione integranda è dispari nella variabile [math]x, la quale varia su un intervallo simmetrico rispetto all'origine, oppure bisogna tenere conto del fatto che la variabile [math]z varia tra [math]0 e [math]x^2 ?
Grazie in anticipo per eventuali risposte.

[ghisi]

L'importante è la simmetria del dominio rispetto a [math]x = 0 (e ovviamente la "disparità" della funzione). Per convincerti: dividi l'insieme nelle due parti in cui [math]x è positivo e [math]x è negativo. Avresti due integrali da calcolare, per il secondo fai un cambio di variabili ([math]x = - u): con questo cambio diventa il primo intergrale cambiato di segno quindi la somma è nulla. In un certo senso stai tenendo conto di dove varia [math]z: lo fai nel momento in cui dici che il domino è simmetrico (è più che dire che [math]x varia in un intervallo simmetrico).

[Federico.M]

Grazie per le indicazioni professoressa Ghisi..

[Federico.M]

Allego file PDF con svolgimento dell'esercizio, sperando di aver seguito correttamente le indicazioni ricevute…

[ghisi]

Allego file PDF con svolgimento dell'esercizio, sperando di aver seguito correttamente le indicazioni ricevute…

Si è corretto, a parte che [math]x = 0 non è l'asse delle [math]y in [math]R^3

[Federico.M]

Già, dovrebbe essere il piano [math]yz … .
Grazie per la correzione professoressa Ghisi…