2-Estensione per i cilindri

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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T.Sc
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2-Estensione per i cilindri

#1 Messaggioda T.Sc » sabato 29 dicembre 2018, 16:10

Salve, non mi tornano i coefficienti necessari ad ottenere una 2 estensione per i cilindri. Per dirla meglio, a lezione avevamo visto che definendo [math]$, si otteneva una 2 estensione per a=3,b=-2. Ho provato a fare il conto in maniera piu' esplicita, ma non mi trovo. Provo a scrivere quello che ho fatto limitandomi al caso $1$-dimensionale per comodita', in quanto l'unico davvero rilevante:l'idea era vedere cosa succedeva nella regione $x <0$ a livello di derivate :li' si ha -au'(-x)-2bu'(-2x)=(Eu)'(x). Si ha quindi: [math] Occupiamoci solo del secondo addendo:cambiamo le variabili e dovrebbe tornare: [math] e [math] , per cui la funzione da "ridurre a supp compatto" mi verrebbe [math]che mi porterebbe pero' al sistema \phi(0)=\phi'(0)=0 che non mi da' la coppia voluta.

Dove ho sbagliato? Grazie in anticipo

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Massimo Gobbino
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Re: 2-Estensione per i cilindri

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 30 dicembre 2018, 11:25

Ti torna, almeno a livello brutale, che

[math]

è l'extender giusta? Per questo basta controllare che il suo valore in 0 e quello della sua derivata coincidono con quelli di u.

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Re: 2-Estensione per i cilindri

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 30 dicembre 2018, 11:50

Anche formalmente mi pare che il conto torni. Facendo solo quello per la derivata seconda, si tratta di dimostrare che

[math]

per ogni [math].

Ora con i classici cambi di variabili si ottiene che questa vale se e solo se

[math]

dove

[math]

Ora, come sempre, il problema è che la [math] non ha supporto compatto in [math], e quindi l'uguaglianza di sopra non è immediata. Tuttavia, si verifica (ad esempio per approssimazione) che resta vera purché

[math],

ma questo è esattamente quello che accade per i valori speciali [math] e [math].

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Re: 2-Estensione per i cilindri

#4 Messaggioda T.Sc » domenica 30 dicembre 2018, 15:25

Sisi adesso mi torna grazie mille,stavo sbagliando proprio ad impostare le condizioni necessarie.

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Re: 2-Estensione per i cilindri

#5 Messaggioda dalmo » martedì 8 gennaio 2019, 22:48

Ho provato a ripetere questo stesso conto per cercare di trovare un generico m-extender, si tratterebbe di dimostrare quindi che:

[math] per ogni [math].

Ho quindi posto [math] e procedendo con i cambi di variabile ho ottenuto [math]. Analogamente al caso [math] per ottenere i coefficienti [math] è quindi sufficiente imporre [math] per [math], così facendo si ottiene un sistema lineare di n equazioni in n incognite con matrice associata una matrice invertibile, il sistema ammette pertanto soluzione unica. Precisato questo, la mia domanda è la seguente: supponiamo io voglia ottenere sempre un m-extender, tuttavia anzichè imporre la condizione

[math] per ogni [math]

impongo

[math] per ogni [math] con [math] sempre con [math]

ossia, detto a parole, impongo che l'estesa ammetta derivata debole n-esima con [math]; otterrò allora una certa [math] con coefficienti [math] con [math] da determinare. Con gli ormai ben noti cambi di variabile ottengo quindi un sistema lineare di m equazioni in m incognite, risolubile con soluzione unica.
Svolgendo il conto con degli m ed n fissati mi sono però accorto che gli [math] sono differenti da quelli ottenuti con il conto svolto nella maniera classica, non riesco a giustificare questa cosa, avendo ottenuto dei ben determinati coefficienti con il conto classico (per intenderci quello con la derivata m-esima) mi aspetterei che questi coefficienti soddisfino a maggior ragione il conto con la derivata n-esima (dato che n<m), che invece risulta soddisfatto da ben altri coefficienti... dev'esserci un errore molto grossolano in quello che sto dicendo ma non riesco ad individuarlo.
Ultima modifica di dalmo il mercoledì 9 gennaio 2019, 10:34, modificato 2 volte in totale.

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Re: 2-Estensione per i cilindri

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 9 gennaio 2019, 8:34

Uhm, intanto le funzioni test al LHS e RHS devono essere le stesse ... magari correggi il post.

Poi faccio un po' fatica a seguire il ragionamento. La [math] che si ottiene dipende dai cambi di variabile fatti strada facendo, i quali a loro volta dipendono da come uno ha definito Eu, e non dal numero di derivate alle quali puntiamo. L'unica cosa che dipende dal numero di derivate alle quali puntiamo è il numero di richieste sulla [math], cioè quante sue derivate vogliamo che si annullino.

Per fare un esempio, nel caso del 2-extender trattato in qualche post precedente, imporre lo scarico delle derivate prime avrebbe portato alla stessa [math] con l'unica richiesta del suo annullamento in 0, mentre imporre lo scarico delle derivate seconde porta alla richiesta che [math].

O forse non ho capito la domanda?

La cosa carina e notevole è invece che le costanti che vengono fuori dalle condizioni su [math] sono le stesse che vengono fuori imponendo brutalmente che le derivate dell'estesa coincidano in 0 con le derivate della funzione originaria.

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Re: 2-Estensione per i cilindri

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 17 gennaio 2019, 13:22

Acc... nel giorno del crash c'erano stati dei post successivi a questo in cui si chiariva il dubbio. Provo a riassumerli qui.

L'oggetto del contendere è questo. Sospettiamo che una certa formula rappresenti un 2-extender. Ci sono da fare due verifiche, e cioè che le derivate prime e seconde si scarichino bene su tutta la retta. Con i soliti cambi di variabile ci si riduce ad avere degli scarichi sui soli positivi, non più rispetto alla funzione test [math] originaria, ma rispetto a delle nuove funzioni [math] e [math], diverse nei due casi.

Ebbene, non c'è nulla di male nel fatto che [math] e [math] siano diverse. Le richieste su di loro per avere lo scarico sui positivi sono diverse!

Per la [math], cioè quella che deriva dallo scarico delle derivate prime, serve che [math], e questa condizione è verificata. Per la [math], cioè quella che deriva dallo scarico delle derivate seconde, serve che [math], e pure questa condizione è verificata. Quindi siamo felici :D.


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