Non capisco una cosa che si fa quasi sempre per calcolare il rilassato di un funzionale. Ad esempio nella lezione 21 del 2018 si deve calcolare il rilassato di [math]. Dato che [math] è continuo in norma [math], allora basta calcolare il rilassato di [math] ecc.. . La cosa che non capisco è: perchè il funzionale [math] è continuo ?
(è forse una cosa generale che se [math] converge ad [math] in norma [math] ed essendo f(x,s) continua, allora [math] converge a [math] ? )
Grazie mille.
Dubbio nel calcolo del rilassato
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Re: Dubbio nel calcolo del rilassato
Ciao! Il funzionale G(u) è continuo ad esempio perché è composizione di funzioni continue, in particolare è la norma (L2) al quadrato di una traslazione.. In uno spazio normato la norma è sempre una funzione continua per via della disuguaglianza triangolare
Re: Dubbio nel calcolo del rilassato
Grazie mille, chiarissimo! E' vero o falso che "se [math] converge a [math] in norma [math] ed essendo [math] continua, allora
[math] " ?
[math] " ?
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Re: Dubbio nel calcolo del rilassato
FApples97 ha scritto:E' vero o falso che "se [math] converge a [math] in norma [math] ed essendo [math] continua, allora
[math] " ?
L'enunciato, come spesso accade, è falso ma non troppo.
Come è enunciato qui sopra è falso perché si possono costruire semplici controesempi in cui
[math] in [math] ma [math]
Tuttavia, l'enunciato diventa vero non appena uno aggiunge una qualche ipotesi di dominazione, ad esempio
[math]
per ogni valore ammissibile di x ed s.
A quel punto diventa vero con dimostrazione standard, basata sui soliti 3 punti, ai quali qui mi limito ad accennare (ma se servono più dettagli, basta chiedere).
- Se una successione converge in L^2, allora esiste una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque in maniera equi-dominata.
- Dalla convergenza puntuale + equi-dominazione + ipotesi di dominazione della Lagrangiana segue la possibilità di passare al limite sotto il segno di integrale per quella sottosuccessione.
- Dal lemma della sotto-sotto segue che si passa al limite su tutta la successione.
Vale la pena notare che, se invece della continuità, uno si accontentasse della semi-continuità inferiore, allora si potrebbe usare Fatou invece di Lebesgue, e questo richiede solo una dominazione dal basso, del tipo
[math]
Se uno poi avesse, per ragioni particolari, una stima sulla norma [math] delle derivate, allora basta davvero la continuità di [math] perché a quel punto sulle funzioni si ha pure la convergenza uniforme. Un caso tipico in cui questo serve è se uno volesse rilassare
[math]
Tutti i discorsi si generalizzano facilmente ad esponenti p generici.
Re: Dubbio nel calcolo del rilassato
Grazie mille davvero. Non ho capito quale lemma è il "lemma della sotto-sotto" (non l'ho capito neanche quando ho visto la video lezione)
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Re: Dubbio nel calcolo del rilassato
FApples97 ha scritto:Non ho capito quale lemma è il "lemma della sotto-sotto"
Prova a guardare la lezione 120 di AM1_17.
P.S. Ho corretto un typo nel mio post qui sopra. Nei facili controesempi si ha una successione di funzioni che tende a 0 in [math], ma l'integrale delle quarte potenze (e non delle funzioni stesse, come avevo scritto erroneamente) tende all'infinito.
Re: Dubbio nel calcolo del rilassato
Grazie mille.
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