Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.5

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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s.rotundo1
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Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.5

#1 Messaggioda s.rotundo1 » martedì 5 febbraio 2019, 1:07

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano [math] spazio normato, [math], [math] la proiezione su [math] definita da:
[math], se [math];
[math], se [math].

a) Dimostrare che per ogni [math] [math] per ogni [math];
b) Dare un esempio in cui [math] non è l'unico punto di minimo;
c) Dimostrare che [math] per ogni [math] e che la disuguaglianza è stretta per [math];
d) Dare un esempio dove la costante [math] della disuguaglianza precedente sia ottimale.

Vorrei capire se la mia soluzione parziale è corretta.

[+]
a) Siano [math], [math]. Supponiamo che [math].
[math]
Supponiamo invece che [math].
[math]
[math]
Semplificando si ottiene [math].

b) Basta prendere [math] con la norma [math] e [math].
[math]
[math]
Prendo [math].
[math], dunque [math].
[math]

c) Sia [math].
Supponiamo [math].
[math]
L'ultima disuguaglianza è stretta se e solo se [math], cioè se e solo se [math].
Supponiamo invece che [math] ma [math].
[math]
Osserviamo che l'uguaglianza vale solo se [math] e se esiste [math] tale che [math], da cui deduciamo che [math]. Se [math] allora [math] e dunque si avrebbe la disuguaglianza stretta [math] e ciò è assurdo. Allora dev'essere [math], per cui [math]. Dunque [math].
Ma allora [math] che è assurdo poiché [math]. Dunque l'uguaglianza non è mai verificata e ciò è in accordo con la tesi in quanto se [math] ma [math] si ha sempre [math].
Nell'ultima disuguaglianza abbiamo usato che [math] e [math] minimizza la distanza da [math] tra gli elementi di [math].
Supponiamo infine che [math], e dunque [math]. In particolare si avrà che [math].
[math]
[math]
[math]
In maniera del tutto analoga posso ottenere anche che [math].
Ma allora deve valere che [math].
Osserviamo che l'ultima disuguaglianza è stretta se e solo se [math] [math].


Non riesco a trovare un buon esempio per il punto d).
In tutto ciò che mi viene in mente la proiezione è 1-Lipschitz.

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Re: Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.5

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 5 febbraio 2019, 22:03

s.rotundo1 ha scritto:In tutto ciò che mi viene in mente la proiezione è 1-Lipschitz.

Tutto ciò è buffo. Pensa che la proiezione è 1-Lip se e solo se lo spazio è un Hilbert (tranne in dimensione 1 e forse pure 2)!

Comunque il controesempio si fa già in dimensione 2.


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