Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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tommy1996q
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Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

#1 Messaggioda tommy1996q » sabato 26 gennaio 2019, 18:14

Nella lezione del 5/11 si dava un esempio di funzione che stava in [math] ma non in [math] con [math]. La funzione è [math]. Quando se ne calcola il gradiente, la sua norma elevata alla [math] dovrebbe essere una cosa del tipo [math]. Il problema è che andando a integrare mi verrebbe divergente. Probabilmente sto sbagliando una sciocchezza che però non riesco a individuare. Non ho capito, in particolare, cosa si intenda per [math], se la norma del vettore [math] o il logaritmo di [math].

Chiederei aiuto anche per un'altra questione: a un certo punto, in un altro esempio di minimalità, si faceva riferimento a [math]. Questo me lo ricordo distintamente. Il problema è che ho spulciato per 3 volte tutti gli appunti e non ho trovato niente. Se qualcuno ha qualche indizio su dove si trovi quell'esempio, mi aiuterebbe non poco :lol: (ovviamente cancellerò quest'ultima parte una volta trovato)

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Massimo Gobbino
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Re: Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 26 gennaio 2019, 19:39

Quell'esempio è un errore mio, veniale perché si corregge facilmente. Quella funzione ha il comportamento giusto nell'origine e all'infinito; il problema è l'annullamento del logaritmo anche in 1. Si rimedia facilmente considerando la funzione

[math]

Aggiungendo 1 ed il quadrato nel denominatore si evita il problema quando [math], e si sistema anche il caso p=1.

Il doppio logaritmo è alla fine della lezione 30, e serviva per mostrare che le funzioni in [math] del disco nel piano possono non essere limitate. In realtà basta un logaritmo solo, purché elevato alla potenza opportuna. Nel disco in dimensione 2 la funzione

[math]

sta in [math]ma non è limitata per ogni [math]. L'esempio si generalizza facilmente a tutte le dimensioni. La funzione

[math]

ha il pregio di andare bene in tutte le dimensioni (sta in [math] ma non è limitata).


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