Integrali tripli 4

[Giacinto Gallina]

L'esercizio in questione chiede di integrare la funzione [math]|z| sull'insieme [math]A tale che [math]x^2+y^2+z^2\leq 4,[math]|x|\geq 1,[math]|y|\geq 1.
Intanto si osserva che ci si può limitare a studiare il problema per [math]z\geq 0 e moltiplicare per 2, visto che l'insieme è simmetrico per [math]z.
L'insieme che si ottiene è il complementare in [math]A dell'instersezione fra la parte superiore della sfera e un parallelepipedo con [math](x,y)\in [-1,1]×[-1,1] e [math]z variabile. Quindi per ottenere l'integrale richiesto basta integrare su tutta la semisfera superiore e sottrarre l'integrale sull'intersezione descritta per poi moltiplicare per 2. Tale intersezione corrisponde al parallelepipedo per [math][math]z\in (0,\sqrt{2}) e alla calotta sferica per [math]z\in(\sqrt{3},2). Invece il problema sorge quando [math]z\in(\sqrt{2},\sqrt{3}) e l'intersezione corrisponde all'intersezione fra una circonferenza e un quadrato. Come si può calcolare l'area di tale intersezione volendo integrare per sezioni? È conveniente ragionare così o c'è un modo più furbo?

[ghisi]

Ci sono tanti modi per affrontare un esercizio. Io questo lo faccio così di solito: usa le simmetrie per ridurti a [math]z\geq 0, [math]x\geq 1, [math]y\geq 1. Adesso integra in [math]z (sostanzialmente è integrare per colonne). Ti ritrovi quindi da integrare

[math]4 - (x^2 +y^2)

su

[math]x^2 +y^2 \leq 4, [math]x\geq 1, [math]y\geq 1.

Puoi ridurti al caso in cui [math]y\leq x. E ora su questo insieme si possono usare le coordinate polari (otterrai che l'insieme in cui varia [math]\rho dipende da [math]\theta...).

[Edoardo Gabrielli]

Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?

[ghisi]

Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?

Il problema è che la negazione di ( [math]|x|\geq 1 e [math]|y|\geq 1) non è ([math]|x|\leq 1 e [math]|y|\leq 1). Prova a fare un disegno per convincerti.