[math]
la prima domanda chiede se esistono valori di [math] tali che si abbia esistenza globale, e questo si vede abbastanza facilmente in quanto
[math] e questa si risolve esplicitamente, e per valori di [math] la soluzione ha esistenza globale
e limite finito per [math].
La seconda domanda, ed è quella che mi sta dando un po' di noie, chiede se esistono valori di [math] per cui la soluzione è globale e verifica
[math]
la terza chiede le stesse cose della seconda ma con limite uguale a [math].
Ho provato a ragionare nel modo seguente, ma ho qualche dubbio. Per prima cosa un po' di notazione, pongo
[math]
[math]
[math]
Inoltre [math]
Chiaramente [math] è un intervallo, infatti se [math] e [math] anche [math]. Sia quindi [math] perché ci sono dati iniziali per i quali si ha blow up.
Suppongo sperando che sia vero, ma non l'ho verificato che se [math] allora per forza [math]. Mostro quindi che [math] è non vuoto.
Considero la funzione [math] definita come [math] e osservo che è monotona, calcolo quindi
[math] e dico che ci sono due casi
i) se [math] osservo che [math] e quindi [math].
ii) se per assurdo [math] noto che preso [math] e definita [math] essa è soprasoluzione [math] opportuno. Considero quindi il problema
[math] dove [math]
Allora [math] dunque [math] ovvero [math] ha esistenza globale nel futuro.
Se poniamo [math] allora è evidente che [math] da cui [math] e quindi [math] assurdo.
A questo punto ho finito perché la funzione [math] è continua e [math] e ancora [math] quindi per il teorema dei valori intermedi esiste [math] tale che
[math]
Quello che mi chiedo è se è una dimostrazione corretta, se ce n'era una più facile che mi è sfuggita, se c'è qualche passaggio che si può evitare..
Grazie a chiunque dirà la sua!
