Studio Qualitativo 6 - Limite 2016?

[C_Paradise]

Ciao a tutti! Sono alle preso con il seguente problema di Cauchy (Equazioni differenziali - Studio qualitativo 6, p. 57)

[math]\displaystyle u'=\frac{u^4}{1+u^2+t^2}, \quad u(0)=\alpha

la prima domanda chiede se esistono valori di [math]\alpha > 0 tali che si abbia esistenza globale, e questo si vede abbastanza facilmente in quanto

[math]\displaystyle \frac{u^4}{1+u^2+t^2} \le \frac{u^4}{1+t^2} e questa si risolve esplicitamente, e per valori di [math]\displaystyle \alpha \in \bigg(0,\frac{2}{3\pi}\bigg) la soluzione ha esistenza globale

e limite finito per [math]t \to +\infty.

La seconda domanda, ed è quella che mi sta dando un po' di noie, chiede se esistono valori di [math]\alpha > 0 per cui la soluzione è globale e verifica

[math]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u(t) = 2016

la terza chiede le stesse cose della seconda ma con limite uguale a [math]+\infty.

Ho provato a ragionare nel modo seguente, ma ho qualche dubbio. Per prima cosa un po' di notazione, pongo

[math]A=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha esistenza globale e limite finito}\}
[math]B=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha blow up}\}
[math]C=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha esistenza globale e limite infinito}\}

Inoltre [math]A \cup B \cup C = [0,+\infty)

Chiaramente [math]A è un intervallo, infatti se [math]\alpha \in A e [math]0 < \beta < \alpha anche [math]\beta \in A. Sia quindi [math]\alpha_0 = \sup A \in \mathbb{R} perché ci sono dati iniziali per i quali si ha blow up.
Suppongo sperando che sia vero, ma non l'ho verificato che se [math]C \neq \emptyset allora per forza [math]C=\{\alpha_0\}. Mostro quindi che [math]C è non vuoto.

Considero la funzione [math]\displaystyle \Phi \colon A \to [0,+\infty) definita come [math]\displaystyle \Phi(\alpha)=\lim_{t \to +\infty} u(\alpha,t) e osservo che è monotona, calcolo quindi

[math]\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi(\alpha) = \sup_{\alpha \in A} \Phi(\alpha) e dico che ci sono due casi

i) se [math]\sup \Phi = +\infty osservo che [math]\lim_{t \to +\infty} u(\alpha_0,t)=\lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi(\alpha) = +\infty e quindi [math]\alpha_0 \in C.

ii) se per assurdo [math]\sup \Phi = M \in \mathbb{R} noto che preso [math]n \ge 4 e definita [math]v_n(t) := t^{1/n} essa è soprasoluzione [math]\forall t \ge t_n opportuno. Considero quindi il problema

[math]\displaystyle u'=\frac{u^4}{1+u^2+t^2}, \quad u(T)=M dove [math]T \ge \max\{t_n, M^n\}

Allora [math]v_n(T)=T^{1/n} \ge M dunque [math]v_n(t) \ge u(t), \ \forall t \ge T ovvero [math]u(t) ha esistenza globale nel futuro.

Se poniamo [math]\alpha_1=u(0) allora è evidente che [math]\alpha_1 > \alpha_0 da cui [math]\alpha_1 \in C e quindi [math]\alpha_1=\alpha_0 assurdo.

A questo punto ho finito perché la funzione [math]\Phi è continua e [math]\Phi(0)=0 e ancora [math]\lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi(\alpha) = +\infty quindi per il teorema dei valori intermedi esiste [math]\bar{\alpha} tale che

[math]\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u(\bar{\alpha},t) = \Phi(\bar{\alpha}) = 2016

Quello che mi chiedo è se è una dimostrazione corretta, se ce n'era una più facile che mi è sfuggita, se c'è qualche passaggio che si può evitare..
Grazie a chiunque dirà la sua!

[Massimo Gobbino]

Uhm, ci sono almeno due punti essenziali che non mi tornano .

1. Perché la funzione [math]\Phi è continua? Sono d'accordo sulla monotonia, ma la continuità non mi sembra ovvia.
   
   
2. Se anche uno riuscisse a dimostrare che [math]\Phi(\alpha)\to+\infty per [math]\alpha\to\alpha_0, perché mai da questo dovrebbe seguire che [math]\alpha_0\in C ? Non potrebbe succedere che tutte le soluzioni con dato minore di [math]\alpha_0 hanno limite finito, sempre più alto, ma poi quella con dato [math]\alpha_0 ha blow up?

[C_Paradise]

La ringrazio professore per avermi risposto così velocemente In effetti ero quasi convinto che più di qualcuno avrebbe obiettato la continuità.
Provo a sistemare la cosa. Sia [math]\alpha_* \in A (per ora supponiamo [math]\alpha_* \neq \alpha_0) considero una successione [math]\{\alpha_n\} \subset A tale che [math]\alpha_n \to \alpha_* e voglio mostrare che

[math]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \Phi(\alpha_n) = \Phi(\alpha)

Considero la successione di funzioni [math]u(\alpha_n,t) \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty) e dico che verificano le ipotesi di Ascoli-Arzelà. Per prima cosa osservo che effettivamente sono definite in [math][0,+\infty) perché hanno esistenza globale in quanto [math]\alpha_n \in A.

Prendo [math]\varepsilon > 0 sufficientemente piccolo affinché [math]\alpha_* + \varepsilon \in A allora esisterà [math]n_0 \in \mathbb{N} tale che [math]\forall n \ge n_0 si abbia [math]\alpha_n \le \alpha_* + \varepsilon.

D'altra parte [math]u(\alpha,t) < \Phi(\alpha), \ \forall t \ge 0 da cui

[math]\displaystyle u(\alpha_n,t) < \max\{\Phi(\alpha_0),\dots,\Phi(\alpha_{n_0-1}),\Phi(\alpha_*+\varepsilon)\} \quad \forall t \ge 0, \ \forall n \in \mathbb{N}

Inoltre sono tutte maggiori o uguali a zero. Di conseguenza sono equilimitate.

Dico che sono equilipschitz infatti [math]u'(\alpha,t) = \frac{u^4}{1+u^2+t^2} = u^2 \cdot \frac{u^2}{1+u^2+t^2} \le u^2 \le M^2 dove [math]M è la costante di equilimitazione di prima.

Di conseguenza esiste una sottosuccessione [math]u(\alpha_{n_k},t) \to u_{\infty}(t) uniformemente sui compatti di [math][0,+\infty).

Grazie alla convergenza uniforme abbiamo che [math]u_{\infty}(t) risolve il problema limite.

Ma [math]f(t,u) è localmente lipschitziana nella seconda variabile e quindi [math]u_{\infty}(t)=u(\alpha_*,t) per forza, quindi per il lemma della sotto-sotto otteniamo

[math]\displaystyle u(\alpha_n,t) \to u(\alpha_*,t) uniformemente sui compatti di [math][0,+\infty)

Se valesse il teorema di scambio del limite a più infinito potrei concludere. Volendo potrei considerarle come funzioni da [math][0,+\infty] a [math][0,+\infty] così da avere il dominio compatto e applicare AA senza remore e ottenere l'uniforme ovunque e applicare a cuor sereno il teorema di scambio, ma non mi sembra molto formale.

Questo per quanto riguarda la continuità, anche se forse non l'ho davvero sistemata. Adesso provo a pensare al secondo punto che mi ha fatto notare.

La ringrazio ancora del prezioso aiuto!

PS: Quasi sicuramente questa non è la via corretta, quindi mi chiedo come si poteva rispondere alla domanda due dell'esercizio?

[Massimo Gobbino]

Uhm, la prima parte mi sembra una dimostrazione della dipendenza continua dal dato iniziale (che poi nel caso Lipschitz si può fare molto più velocemente, come nella parte centrale della lezione 118). Tuttavia la dipendenza continua fornisce la convergenza uniforme sui compatti, che non permette di concludere nulla sullo scambio dei limiti all'infinito.

L'idea dell'estensione alla compattificazione non sembra portare da nessuna parte, a meno che uno non voglia farsi la fatica di dimostrare l'equicontinuità delle estensioni sulla compattificazione. Come idea generale, la speranza che i "cannoni" agevolino le cose è una delle speranze che ottimisticamente prende tutti nei primi anni di studio, ma poi con il tempo si capisce che non è così. I cannoni semplicemente nascondono la sporcizia sotto il tappeto, dove è solo più difficile vederla. Alla fine non ci sono scorciatoie, la fatica va affrontata; questa è l'unica realtà.

Tornando al caso proposto, io farei come in tutti i casi di valore soglia. Chiamerei A l'insieme dei dati iniziali per cui il limite è minore di 2016. Poi dimostrerei che A non è tutto, ad esempio perché ci sono dati per cui si ha blow up. Ora consideriamo il sup di A. Che può succedere con quel dato? Può la soluzione avere un limite M>2016? No: se lo avesse, allora partendo per tempi grandi tra M e 2016 ... Può la soluzione avere un limite M<2016? No: se lo avesse, allora partendo per tempi grandi tra M e 2016 la derivata si stimerebbe con ... e per la convergenza dell'integrale ... (Ah, sorpresa, questa stima è proprio quello che servirebbe per l'equicontinuità dell'estensione alla compattificazione ...).

Unicità? Beh, con un conto bovino mi sembra che la differenza tra due soluzioni cresca con il tempo ...

Ovviamente ho dato solo qualche aiutino, ma forse ora sistemare i dettagli è più facile.

[C_Paradise]

Grazie professore, sia per quanto riguarda gli aiutini per il problema in esame che per il consiglio generale. Proverò a sistemare i dettagli, grazie ancora!