Local minima 1

Carmine

Professore,

potrei chiedere un piccolo indizio sull'esercizio 3.b.? Pensavo di dimostrare che per $\varepsilon$ piccolo abbastanza valgono le condizioni L^+

e

, ma non riesco a trovare un minimo direzionale. Ho provato anche considerando il funzionale:

$\displaystyle G(u)=\int_0^1 \dot{u}^2 + u^2 \ dx$

che ammette minimo globale facile da calcolare, ma scrivendo F(u_0+v)-F(u_0)

non riesco a ottenere granchè.

I metodi di linearizzazione non mi sembrano utili in questo caso, in quanto per ogni $\varepsilon$ non vi sono minimi forti, e in ogni caso l'eulero non mi sembra facilmente risolvibile.

Nemmeno i risultati di esistenza e unicità mi sembrano utili, in quanto l'Eulero diff. coi dati al bordo è un BVP, non un problema di Cauchy...

C'è qualcosa che sicuramente mi sfugge, visti i prerequisiti e la difficoltà (non esagerata) che è stata attribuita all'esercizio.

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Uhm, mi piacerebbe non essere sempre solo io a rispondere ... anche perché non sempre posso farlo velocemente.

In quel caso io farei così. Per epsilon piccolo la parte con la derivata è convessa in [-3000,3000]. Modifico fuori da quell'intervallo in modo che sia convessa ovunque e minimizzo: no problem via metodo diretto. Ora dico che il minimo di quel problema modificato è WLM per quello originario (usando come intorno quello che tiene la derivata tra -3000 e 3000). L'unica cosa che devo dimostrare è che la derivata del minimizer del problema ausiliario sta sempre tra -2999 e 2999 (quindi essere WLM per il problema ausiliario o originario è equivalente). Per questo ODEs che passione! La funzione sta tra 0 e 2 (questo direi che si dimostra per troncamento), quindi da Eulero la sua derivata ...

Carmine

Provo a rendere preciso il discorso.

Allora, per $\varepsilon>0$ piccolo a sufficienza la funzione:

$\phi(x)=x^2-\varepsilon x^4$

presenta nei punti 100

e

una derivata seconda:

$\phi_{pp}(100)=2-12\varepsilon 100^2 \ge \frac{1}{2}$

Esiste allora una funzione $\psi$ che coincide con $\phi$ in [-100,100]

, e fuori da questo intervallo ha derivata seconda costante, pari a $\phi_{pp}(100)$ (e che è ovviamente appartenente a $C^2(\mathbb{R})$ ). In particolare, per ogni $x \in \mathbb{R}$ si ha $\psi_{pp}(x) \in [\frac{1}{2},1]$ , dunque $\psi$ è strettamente convessa. Consideriamo allora il funzionale ausiliario:

$G(u)=\int_0^1 \psi(\dot{u})+u^2 \ dx$

Il metodo diretto, utilizzato in forma standard, garantisce l'esistenza è l'unicità di un punto di minimo globale u_0

(per la compattezza, basta notare che $\psi$ sta sopra un opportuna parabola; la semicontinuità è standard; per la regolarità si usa la stretta monotonia e la regolarità di $\psi_p$ ).

La funzione u_0

risolve allora:

$\psi_{pp}(\dot{u_0})\ddot{u_0}=2u_0$

E' facile vedere, eventualmente usando degli opportuni troncamenti, che $0 \le u_0 \le 2$ in [0,1]

. Allora $\ddot{u_0} \ge 0$ ovunque in [0,1]

, e inoltre:

$\ddot{u_0} \le \frac{4}{1/2}=8$

In più, necessariamente $\dot{u}(0) \in [0,2]$ (sicuramente $\dot{u}(0) \ge 0$ , poi al più $\dot{u}(0)=2$ , nel caso della retta, in quanto $\dot{u}$ è crescente). Integrando si ottiene allora:

$\dot{u}(t)-\dot{u}(0) \le \int_0^t 8 \ dt \le 8 \ \Rightarrow \dot{u}(t) \le 2+8=10 \ ,$

da cui u_0

è WLM per il problema originario.

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