integrale improprio

Integrali multipli, anche impropri
Messaggio
Autore
matt_93
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 46
Iscritto il: domenica 24 novembre 2013, 22:17

integrale improprio

#1 Messaggioda matt_93 » lunedì 2 giugno 2014, 15:19

Buongiorno a tutti i giorni! Sono alle prese con un integrale improprio che non riesco a risolvere:

\displaystyle\int_{A}{\arctan x\over (x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\,dx\,dy

Dovrei dimostrare per quali valori di \alpha si ha convergenza.
A è il primo quadrante.

Nome_utente
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 15
Iscritto il: martedì 11 febbraio 2014, 22:50

Re: integrale improprio

#2 Messaggioda Nome_utente » lunedì 2 giugno 2014, 17:57

1<\alpha<3/2

Va spezzato in due parti: 0<\rho<1 e 1<\rho<+\infty

matt_93
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 46
Iscritto il: domenica 24 novembre 2013, 22:17

Re: integrale improprio

#3 Messaggioda matt_93 » lunedì 2 giugno 2014, 23:20

Ok, così dimostro i valori di \alpha per cui l'integrale converge, cioè:
1\leq\alpha\leq{3\over2}
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: integrale improprio

#4 Messaggioda GIMUSI » martedì 3 giugno 2014, 8:47

matt_93 ha scritto:Ok, così dimostro i valori di \alpha per cui l'integrale converge, cioè:
1\leq\alpha\leq{3\over2}
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?


allego lo svolgimento dell'esercizio

per la parte "vicino a zero" il criterio asintotico dovrebbe fornire una condizione "se e solo se" sul valore di convergenza \alpha<3/2 (con le minorazioni/maggiorazioni non saprei come fare :roll: )

per la parte a +infinito si può operare per confronto con due sotto casi mostrando che il valore \alpha>1 e un "se e solo se" per la convergenza
Allegati
140603 - integrali indefiniti.pdf
(81.53 KiB) Scaricato 175 volte
GIMUSI

ghisi
Presenza fissa
Presenza fissa
Messaggi: 403
Iscritto il: mercoledì 7 settembre 2005, 9:14

Re: integrale improprio

#5 Messaggioda ghisi » martedì 10 giugno 2014, 8:50

GIMUSI ha scritto:[
per la parte "vicino a zero" il criterio asintotico dovrebbe fornire una condizione "se e solo se" sul valore di convergenza \alpha<3/2 (con le minorazioni/maggiorazioni non saprei come fare :roll: )




Per farlo con le maggiorazioni/minorazioni basta usare che esiste una costante C>0 tale che se 0\leq x
\leq 1 allora

Cx \leq \arctan x \leq x.

(che in fondo è quello che c'è alla base del confronto asintotico)

AntiLover
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 34
Iscritto il: giovedì 12 dicembre 2013, 18:33

Re: integrale improprio

#6 Messaggioda AntiLover » mercoledì 11 giugno 2014, 12:15

Scusate, qualcuno mi aiuti! :( non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!! :) :)

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: integrale improprio

#7 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 11 giugno 2014, 14:16

AntiLover ha scritto:Scusate, qualcuno mi aiuti! :( non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!! :) :)


ha l'aria di convergere...forse si potrebbe provare a minorarlo impiegando la diseguaglianza di cosx per 0\leq x \leq1 (vd. lez. 52 AM01 2010/11)
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: integrale improprio

#8 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 11 giugno 2014, 21:29

GIMUSI ha scritto:
AntiLover ha scritto:Scusate, qualcuno mi aiuti! :( non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!! :) :)


ha l'aria di convergere...forse si potrebbe provare a minorarlo impiegando la diseguaglianza di cosx per 0\leq x \leq1 (vd. lez. 52 AM01 2010/11)


allego lo svolgimento con la minorazione indicata :)
Allegati
140611 - integrali impropri 02.pdf
(43.37 KiB) Scaricato 147 volte
GIMUSI

Avatar utente
volm92
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 39
Iscritto il: giovedì 17 ottobre 2013, 18:30

Re: integrale improprio

#9 Messaggioda volm92 » mercoledì 9 luglio 2014, 21:39

Ho un problema con un Integrale Improprio:

$\[\int_{\mathbb{R}\smallsetminus D}^{} \frac{|x|}{(x^2+y^2)^2}dxdy\]$
Dove D è un cerchio nel piano con centro nell'origine e raggio 2.

Andando avanti e passando in coordinate polari arrivo a questo punto:

$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$ che essendo facile e svolgendolo viene che converge a 2.

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$ converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi :)
Grazie!

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: integrale improprio

#10 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 9 luglio 2014, 22:26

volm92 ha scritto:...

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$ converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi :)
Grazie!


non ho capito cosa non ti è chiaro...la soluzione dell'integrale improprio mi pare corretta

per quanto riguarda gli integrali impropri notevoli nella lezione 54 sono richiamati i casi "padre" di analisi 1 (spiegati ad esempio nella lezione 76 di AM1 2010/11)
GIMUSI

Avatar utente
volm92
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 39
Iscritto il: giovedì 17 ottobre 2013, 18:30

Re: integrale improprio

#11 Messaggioda volm92 » mercoledì 9 luglio 2014, 22:43

GIMUSI ha scritto:
volm92 ha scritto:...

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$ converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi :)
Grazie!


non ho capito cosa non ti è chiaro...la soluzione dell'integrale improprio mi pare corretta

per quanto riguarda gli integrali impropri notevoli nella lezione 54 sono richiamati i casi "padre" di analisi 1 (spiegati ad esempio nella lezione 76 di AM1 2010/11)


Non mi torna il fatto che, se NON svolgessi l'integrale, e ragionassi sulla convergenza o meno, mi verrebbe che diverge!
$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$ dove \alpha = 2

ma converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2 e quindi direi che diverge a +\infty (in contraddizione con la convergenza che mi risultava prima!)

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: integrale improprio

#12 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 9 luglio 2014, 22:54

stai solo facendo un po' di confusione...l'integrale

$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$ dove \alpha = 2

è del tipo "Analisi 1" e converge per \alpha>1

se riguardi bene la lezione 54 è spiegato con chiarezza :)
GIMUSI

Avatar utente
volm92
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 39
Iscritto il: giovedì 17 ottobre 2013, 18:30

Re: integrale improprio

#13 Messaggioda volm92 » giovedì 10 luglio 2014, 19:22

Ok, ti ringrazio, come sempre :)

Avatar utente
andi
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: martedì 19 novembre 2013, 18:09

Re: integrale improprio

#14 Messaggioda andi » venerdì 11 luglio 2014, 17:09

Buonasera,
non riesco a valutare i valori di \alpha per cui il seguente integrale converga:
$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!
utente disperato! D:

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: integrale improprio

#15 Messaggioda GIMUSI » venerdì 11 luglio 2014, 23:05

andi ha scritto:Buonasera,
non riesco a valutare i valori di \alpha per cui il seguente integrale converga:
$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!


allego un possibile svolgimento...all'inizio pensavo si potesse fare più rapidamente come suggerirebbe l'amico brutale

volendolo fare per bene con il criterio asintotico ho dovuto considerare due casi...non escludo si possa fare in modo più furbo :roll:
Allegati
140711 - integrali impropri 03.pdf
(106.54 KiB) Scaricato 138 volte
GIMUSI


Torna a “Calcolo integrale in più variabili”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti