sviluppo di taylor

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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ghisi
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Re: sviluppo di taylor

#31 Messaggioda ghisi » martedì 1 luglio 2014, 13:46

nomeutente ha scritto:Credo che l' x^5 nell' esempio della prof sia la stessa cosa del sin y^5 nella lezione 21(mi sembra). Fa cambiare segno, quindi non è max/min ma boh
Ho visto giusto?



Si :D Il problema è che se si mette y = 0 il "termine principale" x^2y^2 sparisce e rimane solo l' o-piccolo. E' una delle cose che differenziano l'Analisi II dall'Analisi I.

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Re: sviluppo di taylor

#32 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 luglio 2014, 14:19

ghisi ha scritto:
nomeutente ha scritto:Credo che l' x^5 nell' esempio della prof sia la stessa cosa del sin y^5 nella lezione 21(mi sembra). Fa cambiare segno, quindi non è max/min ma boh
Ho visto giusto?



Si :D Il problema è che se si mette y = 0 il "termine principale" x^2y^2 sparisce e rimane solo l' o-piccolo. E' una delle cose che differenziano l'Analisi II dall'Analisi I.


quindi, se ho capito bene, lo sviluppo

e^{xy}-xy = 1+xy+x^2y^2+o(x^2y^2)-xy =1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)

è corretto

ma l'origine non è un punto di minimo (perché se x=0 o y=0 la funzione è costante) :roll:
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Re: sviluppo di taylor

#33 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 16:04

ghisi ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
nomeutente ha scritto:
Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con o(x^2y^2) per intenderci) allora funziona.

In questo caso si tratta di minimo, anche se non so se ho capito il perché. :D
Ci provo: fermandomi prima ho che f è sempre positiva e questo vale in un intorno del p.to staz. quindi si tratta di minimo.

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Re: sviluppo di taylor

#34 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 luglio 2014, 16:16

nomeutente ha scritto:In questo caso si tratta di minimo, anche se non so se ho capito il perché. :D
Ci provo: fermandomi prima ho che f è sempre positiva e questo vale in un intorno del p.to staz. quindi si tratta di minimo.


a me pare di aver capito ( :?: ) che come funzione della variabile xy sia un minimo

mentre come funzione di due variabili non lo dovrebbe essere (perché nelle direzioni con x=0 o y=0 f(x,y) è costante) :roll:
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Re: sviluppo di taylor

#35 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 16:27

Non saprei. Ho pensato ad una sorta di cambio di variabile, tipo xy=t, e quindi l'approssimazione ad una funzione di una variabile. Aspettiamo chiarimenti.
Intanto, ti chiedo di aiutarmi con: log^2 (1 + sin(xy)). Sviluppo di Taylor con n= 4 ed ho ottenuto x^2 y^2. Devo capire il ruolo dell'origine :D
So che è stazionario perché manca il grado 2, poi?

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Re: sviluppo di taylor

#36 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 16:32

Forse, essendo positiva, si annullerà nell'origine che è pertanto un minimo?
Ultima modifica di nomeutente il mercoledì 2 luglio 2014, 9:02, modificato 1 volta in totale.

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Re: sviluppo di taylor

#37 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 luglio 2014, 17:29

nomeutente ha scritto:Forse, essendo positiva si annullerà nell'origine che è, pertanto, un minimo?


per coerenza con il caso precedente devo continuare a dire che non è un minimo perché nell'intorno di (0,0) nelle direzioni con x=0 o y=0 la funzione è identicamente nulla :)
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Re: sviluppo di taylor

#38 Messaggioda ghisi » martedì 1 luglio 2014, 20:31

La situazione e' questa: se vi fermate allo sviluppo

f(x,y) = 1 + x^2y^2 + o(x^2y^2)

potete affermare senza problemi che nell'origine avete un punto di minimo in quanto nell'origine la funzione vale 1 e in un intorno dell'origine x^2y^2 + o(x^2y^2)  > 0 (esattamente come in una variabile, dato che vicino all'origine o(x^2y^2)<<x^2y^2).

Se invece procedete con lo sviluppo e scrivete f(x,y) = 1 + x^2y^2 + o((x^2+y^2)^2) a questo punto da qui non potete più concludere nulla. Non perchè il punto non sia più un punto di minimo per la funzione in questione (e ci mancherebbe!), ma perchè in questo ultimo passaggio avete perso delle informazioni e una funzione con questo ultimo sviluppo potrebbe avere o meno un punto di minimo nell'origine. E' solo il passaggio

f(x,y) = 1 + x^2y^2 + o((x^2+y^2)^2) implica f ha un minimo nell'origine

ad essere NON corretto, ma questo non ha nulla a che fare con il fatto che la funzione di partenza abia o meno un minimo nell'origine.



In generale quando scrivete uno sviluppo di Taylor vi dimenticate di quale era la funzione di partenza, ciò che conta sono solo le proprietà che si possono dedurre dallo sviluppo a cui siete arrivati, si stanno gettando delle informazioni, con l'idea che quelle che si buttano non sono rilevanti. Se però se ne buttano troppe non si può più dedurre nulla e bisogna tornare indietro per controllare se si è buttato qualche cosa di importante. Come in questo caso, avete buttato l'informazione che f in realtà dipende solo dal prodotto xy.
Ultima modifica di ghisi il martedì 1 luglio 2014, 20:40, modificato 1 volta in totale.

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Re: sviluppo di taylor

#39 Messaggioda ghisi » martedì 1 luglio 2014, 20:39

nomeutente ha scritto:Forse, essendo positiva si annullerà nell'origine che è, pertanto, un minimo?



Si, è non negativa e si annulla nell'origine che quindi è un punto di minimo.

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Re: sviluppo di taylor

#40 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 luglio 2014, 23:03

ghisi ha scritto:...
In generale quando scrivete uno sviluppo di Taylor vi dimenticate di quale era la funzione di partenza, ciò che conta sono solo le proprietà che si possono dedurre dallo sviluppo a cui siete arrivati, si stanno gettando delle informazioni, con l'idea che quelle che si buttano non sono rilevanti. Se però se ne buttano troppe non si può più dedurre nulla e bisogna tornare indietro per controllare se si è buttato qualche cosa di importante. Come in questo caso, avete buttato l'informazione che f in realtà dipende solo dal prodotto xy.


credo di dovermi rivedere meglio la teoria sullo sviluppo di taylor in più variabili perché continua a sfuggirmi qualcosa :cry:

sviluppando più in dettaglio l'esercizio, che qui allego, vedo che esistono infiniti punti stazionari oltre a P_0=(0,0), infatti, mi pare siano stazionari tutti i punti appartenenti agli assi x e y

se si volesse studiare anche la natura di questi punti con taylor ci sarebbero da calcolare una marea di derivate...è possibile procedere in maniera più rapida per determinare la natura di questi punti stazionari?
Allegati
140701 - punti stazionari 04.pdf
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Re: sviluppo di taylor

#41 Messaggioda ghisi » mercoledì 2 luglio 2014, 8:35

GIMUSI ha scritto:credo di dovermi rivedere meglio la teoria sullo sviluppo di taylor in più variabili perché continua a sfuggirmi qualcosa :cry:


Gli sviluppi di Taylor in più variabili sono abbastanza insidiosi, perchè si ottengono come quelli in una variabile, ma in realtà sono poi più difficili da maneggiare.

GIMUSI ha scritto: sviluppando più in dettaglio l'esercizio, che qui allego, vedo che esistono infiniti punti stazionari oltre a P_0=(0,0), infatti, mi pare siano stazionari tutti i punti appartenenti agli assi x e y

se si volesse studiare anche la natura di questi punti con taylor ci sarebbero da calcolare una marea di derivate...è possibile procedere in maniera più rapida per determinare la natura di questi punti stazionari?



Certo, pensandola, come in effetti è, come una funzione di una variabile. La funzione e^t-t ha un minimo assoluto per t= 0 quindi i punti dove xy = 0 sono tutti punti di minimo assoluto (senza bisogno di altre considerazioni).

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Re: sviluppo di taylor

#42 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 2 luglio 2014, 15:35

ghisi ha scritto:Se fai l'ultimo passaggio NON puoi più concludere nulla, una funzione che verifica 1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2) non ha necessariamente un minimo nell'origine, ad esempio 1 + x^2y^2 - x^5.

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con o(x^2y^2) per intenderci) allora funziona.


ok ora credo di aver afferrato meglio l'idea...un po' come accade quando l'hessiana è semidefinita positiva/negativa e non si può concludere nulla...perché potrebbero esserci termini di ordine superiore che nelle papabili direzioni a f nulla o costante comandano nel definire il segno della funzione
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Re: sviluppo di taylor

#43 Messaggioda ghisi » mercoledì 2 luglio 2014, 15:45

GIMUSI ha scritto:
ok ora credo di aver afferrato meglio l'idea...un po' come accade quando l'hessiana è semidefinita positiva/negativa e non si può concludere nulla...perché potrebbero esserci termini di ordine superiore che nelle papabili direzioni a f nulla o costante comandano nel definire il segno della funzione


Esatto.

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Re: sviluppo di taylor

#44 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 6 luglio 2014, 15:02

Basta pensare ai due esempi

f_1(x,y)=1+x^2y^2+x^8

f_2(x,y)=1+x^2y^2-x^8

In entrambi i casi è corretto affermare che

f(x,y)=1+x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)

ma il comportamento nell'origine è diverso nei 2 casi. Quindi da quello sviluppo non si può dedurre molto sulla natura dell'origine.


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