sviluppo di taylor

[ghisi]

Credo che l' x^5 nell' esempio della prof sia la stessa cosa del sin y^5 nella lezione 21(mi sembra). Fa cambiare segno, quindi non è max/min ma boh
Ho visto giusto?

Si Il problema è che se si mette y = 0 il "termine principale" sparisce e rimane solo l' o-piccolo. E' una delle cose che differenziano l'Analisi II dall'Analisi I.

[GIMUSI]

Credo che l' x^5 nell' esempio della prof sia la stessa cosa del sin y^5 nella lezione 21(mi sembra). Fa cambiare segno, quindi non è max/min ma boh
Ho visto giusto?

Si Il problema è che se si mette y = 0 il "termine principale" sparisce e rimane solo l' o-piccolo. E' una delle cose che differenziano l'Analisi II dall'Analisi I.

quindi, se ho capito bene, lo sviluppo



è corretto

ma l'origine non è un punto di minimo (perché se x=0 o y=0 la funzione è costante)

[nomeutente]

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con per intenderci) allora funziona.

In questo caso si tratta di minimo, anche se non so se ho capito il perché.
Ci provo: fermandomi prima ho che f è sempre positiva e questo vale in un intorno del p.to staz. quindi si tratta di minimo.

[GIMUSI]

In questo caso si tratta di minimo, anche se non so se ho capito il perché.
Ci provo: fermandomi prima ho che f è sempre positiva e questo vale in un intorno del p.to staz. quindi si tratta di minimo.

a me pare di aver capito ( ) che come funzione della variabile sia un minimo

mentre come funzione di due variabili non lo dovrebbe essere (perché nelle direzioni con x=0 o y=0 f(x,y) è costante)

[nomeutente]

Non saprei. Ho pensato ad una sorta di cambio di variabile, tipo xy=t, e quindi l'approssimazione ad una funzione di una variabile. Aspettiamo chiarimenti.
Intanto, ti chiedo di aiutarmi con: log^2 (1 + sin(xy)). Sviluppo di Taylor con n= 4 ed ho ottenuto x^2 y^2. Devo capire il ruolo dell'origine
So che è stazionario perché manca il grado 2, poi?

[nomeutente]

Forse, essendo positiva, si annullerà nell'origine che è pertanto un minimo?

[GIMUSI]

Forse, essendo positiva si annullerà nell'origine che è, pertanto, un minimo?

per coerenza con il caso precedente devo continuare a dire che non è un minimo perché nell'intorno di (0,0) nelle direzioni con x=0 o y=0 la funzione è identicamente nulla

[ghisi]

La situazione e' questa: se vi fermate allo sviluppo



potete affermare senza problemi che nell'origine avete un punto di minimo in quanto nell'origine la funzione vale 1 e in un intorno dell'origine (esattamente come in una variabile, dato che vicino all'origine ).

Se invece procedete con lo sviluppo e scrivete a questo punto da qui non potete più concludere nulla. Non perchè il punto non sia più un punto di minimo per la funzione in questione (e ci mancherebbe!), ma perchè in questo ultimo passaggio avete perso delle informazioni e una funzione con questo ultimo sviluppo potrebbe avere o meno un punto di minimo nell'origine. E' solo il passaggio

implica f ha un minimo nell'origine

ad essere NON corretto, ma questo non ha nulla a che fare con il fatto che la funzione di partenza abia o meno un minimo nell'origine.



In generale quando scrivete uno sviluppo di Taylor vi dimenticate di quale era la funzione di partenza, ciò che conta sono solo le proprietà che si possono dedurre dallo sviluppo a cui siete arrivati, si stanno gettando delle informazioni, con l'idea che quelle che si buttano non sono rilevanti. Se però se ne buttano troppe non si può più dedurre nulla e bisogna tornare indietro per controllare se si è buttato qualche cosa di importante. Come in questo caso, avete buttato l'informazione che f in realtà dipende solo dal prodotto .

[ghisi]

Forse, essendo positiva si annullerà nell'origine che è, pertanto, un minimo?

Si, è non negativa e si annulla nell'origine che quindi è un punto di minimo.

[GIMUSI]

...
In generale quando scrivete uno sviluppo di Taylor vi dimenticate di quale era la funzione di partenza, ciò che conta sono solo le proprietà che si possono dedurre dallo sviluppo a cui siete arrivati, si stanno gettando delle informazioni, con l'idea che quelle che si buttano non sono rilevanti. Se però se ne buttano troppe non si può più dedurre nulla e bisogna tornare indietro per controllare se si è buttato qualche cosa di importante. Come in questo caso, avete buttato l'informazione che f in realtà dipende solo dal prodotto .

credo di dovermi rivedere meglio la teoria sullo sviluppo di taylor in più variabili perché continua a sfuggirmi qualcosa

sviluppando più in dettaglio l'esercizio, che qui allego, vedo che esistono infiniti punti stazionari oltre a , infatti, mi pare siano stazionari tutti i punti appartenenti agli assi x e y

se si volesse studiare anche la natura di questi punti con taylor ci sarebbero da calcolare una marea di derivate...è possibile procedere in maniera più rapida per determinare la natura di questi punti stazionari?

[ghisi]

credo di dovermi rivedere meglio la teoria sullo sviluppo di taylor in più variabili perché continua a sfuggirmi qualcosa

Gli sviluppi di Taylor in più variabili sono abbastanza insidiosi, perchè si ottengono come quelli in una variabile, ma in realtà sono poi più difficili da maneggiare.

sviluppando più in dettaglio l'esercizio, che qui allego, vedo che esistono infiniti punti stazionari oltre a , infatti, mi pare siano stazionari tutti i punti appartenenti agli assi x e y

se si volesse studiare anche la natura di questi punti con taylor ci sarebbero da calcolare una marea di derivate...è possibile procedere in maniera più rapida per determinare la natura di questi punti stazionari?

Certo, pensandola, come in effetti è, come una funzione di una variabile. La funzione ha un minimo assoluto per quindi i punti dove sono tutti punti di minimo assoluto (senza bisogno di altre considerazioni).

[GIMUSI]

Se fai l'ultimo passaggio NON puoi più concludere nulla, una funzione che verifica non ha necessariamente un minimo nell'origine, ad esempio

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con per intenderci) allora funziona.

ok ora credo di aver afferrato meglio l'idea...un po' come accade quando l'hessiana è semidefinita positiva/negativa e non si può concludere nulla...perché potrebbero esserci termini di ordine superiore che nelle papabili direzioni a f nulla o costante comandano nel definire il segno della funzione

[ghisi]

ok ora credo di aver afferrato meglio l'idea...un po' come accade quando l'hessiana è semidefinita positiva/negativa e non si può concludere nulla...perché potrebbero esserci termini di ordine superiore che nelle papabili direzioni a f nulla o costante comandano nel definire il segno della funzione

Esatto.

[Massimo Gobbino]

Basta pensare ai due esempi





In entrambi i casi è corretto affermare che



ma il comportamento nell'origine è diverso nei 2 casi. Quindi da quello sviluppo non si può dedurre molto sulla natura dell'origine.