Formula di Stokes

Gabe · #1 Messaggioda **Gabe** » lunedì 9 giugno 2014, 12:02

Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con

una superficie, con

un punto appartenente o meno alla superficie, con v_p

la direzione normale ad

nel punto

, calcolare il flusso del vettore rotore di

.

1) $S= x^2+y^2+z=1, z\geq0$ , P=(1, 0, 0)

,

.

2) $S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0$ , P=(0, 0, 1)

,

.

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

ghisi · #2 Messaggioda **ghisi** » lunedì 9 giugno 2014, 13:41

Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con una superficie, con un punto appartenente o meno alla superficie, con la direzione normale ad nel punto , calcolare il flusso del vettore rotore di .

1) $S= x^2+y^2+z=1, z\geq0$ , , , .

2) $S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0$ , , , .

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

Cosa dice Stokes? Non ti serve parametrizzare la superficie. Puoi o ridurti a fare un integrale sul bordo della superficie oppure calcolare il flusso attraverso un'altra superficie più semplice con lo stesso bordo.

GIMUSI · #3 Messaggioda **GIMUSI** » lunedì 9 giugno 2014, 22:46

ghisi ha scritto:
Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con una superficie, con un punto appartenente o meno alla superficie, con la direzione normale ad nel punto , calcolare il flusso del vettore rotore di .

1) $S= x^2+y^2+z=1, z\geq0$ , , , .

2) $S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0$ , , , .

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

Cosa dice Stokes? Non ti serve parametrizzare la superficie. Puoi o ridurti a fare un integrale sul bordo della superficie oppure calcolare il flusso attraverso un'altra superficie più semplice con lo stesso bordo.

allego lo svolgimento :?:

dei due esercizi

Gabe · #4 Messaggioda **Gabe** » martedì 10 giugno 2014, 14:01

Ora va meglio

grazie mille

Angelica27

Gimusi, perdonami, ma nel primo esercizio, quello in cui abbiamo una specie di semisfera, non capisco perché, quando ti calcoli il rotore, ti venga 0 come prima componente. C di y - B di z non fa 0 :/

GIMUSI · #6 Messaggioda **GIMUSI** » martedì 10 giugno 2014, 21:45

Angelica27 ha scritto:Gimusi, perdonami, ma nel primo esercizio, quello in cui abbiamo una specie di semisfera, non capisco perché, quando ti calcoli il rotore, ti venga 0 come prima componente. C di y - B di z non fa 0 :/

certo hai ragione...anche se non influenza il risultato...il calcolo del rotore è sbagliato

Filippo.ingrasciotta

Testo ese:

S:( $x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0$ )

F ( x e^x +y , x z^2 ,x

)

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S ( x^2 + z^2 =9

) parametrizzato diventa ( $3cos\theta , 0 , 3 sen\theta$ )

il versore tangente sarà ( $-3 sen\theta ,0, 3 cos\theta$ ) {Molto probabilmente mi manca un fratto 3 poichè il modulo del versore vale 3.. ma a regola tanto dovrei rimoltiplicare per 3 quando faccio il passaggio da ds a $d\theta$ quindi dovrebbe essere ininfluente sul risultato finale}

Facendo F*vt = $-9e^{3sen\theta} cos\theta sen\theta + 9 cos\theta ^2$

e svolgento $\int_{0}^{2\pi}-9e^{3sen\theta} cos\theta sen\theta + 9 cos\theta ^2 \, d\theta = 9\pi$

il risultato del testo è $-9\pi$ quindi penso che abbia sbagliato l'orientazione, però ricontrollando vedo che per $\theta =0$ ottengo il vettore (0,0,3) che è tangente al bordo con orientazione positiva....

GIMUSI · #8 Messaggioda **GIMUSI** » domenica 29 giugno 2014, 23:46

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Testo ese:

S:( $x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0$ )

F ()

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S () parametrizzato diventa ( $3cos\theta , 0 , 3 sen\theta$ )...

la parametrizzazione non va bene perché non rispetta la scelta fatta sulla normale

allego quella che dovrebbe essere l'impostazione corretta

Filippo.ingrasciotta

GIMUSI ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Testo ese:

S:( $x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0$ )

F ()

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S () parametrizzato diventa ( $3cos\theta , 0 , 3 sen\theta$ )...

la parametrizzazione non va bene perché non rispetta la scelta fatta sulla normale

allego quella che dovrebbe essere l'impostazione corretta

Non mi è ben chiaro perché la parametrizzazione che ho dato non va bene, dopotutto e una circonferenza sul piano z-x dove ho considerato l'asse z come quello verticale e l'asse x come quello orizzontale. Il senso di percorrenza per essere positivo deve essere quello antiorario. Per come avevo impostato la parametrizzazione inoltre avevo:

( $3cos\theta , 0 , 3 sen\theta$ ) quindi per $\theta=0$ ho (3,0,0) e mi trovo sull'asse delle x positive mentre per $\theta=\pi/2$ ottengo (0,0,3) sull'asse delle z positive quindi il senso di percorrenza è antiorario.

Inoltre considerando il vettore tangente e concorde al senso di rotazione sia nel punto $\theta=0$ sia nel punto $\theta= \pi/2$

Negli ESE fatti ho notato che non ho mai sfruttato i dati relativi a P e vp .....dipende da questo il mio errore!? Se mi potresti spiegare meglio perché non va bene la parametrizzazione perché ero convinto di aver fatto tutti i ragionamenti giusti

GIMUSI · #10 Messaggioda **GIMUSI** » lunedì 30 giugno 2014, 9:40

Filippo.ingrasciotta ha scritto:
Non mi è ben chiaro perché la parametrizzazione che ho dato non va bene, dopotutto e una circonferenza sul piano z-x dove ho considerato l'asse z come quello verticale e l'asse x come quello orizzontale. Il senso di percorrenza per essere positivo deve essere quello antiorario. Per come avevo impostato la parametrizzazione inoltre avevo:

( $3cos\theta , 0 , 3 sen\theta$ ) quindi per $\theta=0$ ho (3,0,0) e mi trovo sull'asse delle x positive mentre per $\theta=\pi/2$ ottengo (0,0,3) sull'asse delle z positive quindi il senso di percorrenza è antiorario.

Inoltre considerando il vettore tangente e concorde al senso di rotazione sia nel punto $\theta=0$ sia nel punto $\theta= \pi/2$

Negli ESE fatti ho notato che non ho mai sfruttato i dati relativi a P e vp .....dipende da questo il mio errore!? Se mi potresti spiegare meglio perché non va bene la parametrizzazione perché ero convinto di aver fatto tutti i ragionamenti giusti

la domanda è: antiorario rispetto a cosa?

la questione orientazione è spiegata approfonditamente nella lezione 51: "l'orientazione canonica è quella di un omino che percorre il bordo tenendo la superficie a sinistra e rimanendo in piedi secondo il vettore normale che orienta la superficie"

quindi, se la normale è quella concorde a (1,0,0) in (3,0,0), la parametrizzazione "canonica" ha verso opposto rispetto a quella da te indicato

in alternativa devi aggiungere un segno meno davanti all'integrale

Filippo.ingrasciotta

scrivo il testo di 4 ese che non mi sono tornati..

1) S= ( $x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0$ ) P(1,0,0) vp(1,0,1) F( xz,x,senx senz

)
2) S=( $x + y^2 -z = 4 , x\ge0 , z\le0$ ) P(0,2,0) vp(1,4,-1) F( x-y, y^2, xyz

)
3) S=( $x^2 + y^2 =4 , x\ge0, 0\le z\le1$ ) P(2,0,0) vp(1,0,0) F( x+y, z, x-y

)
4) S=( $x^2 + y^4 +z^4 =1 , y\ge0$ ) P(1,0,0) vp(1,0,0) F( 1,2x,2y

)

GIMUSI · #12 Messaggioda **GIMUSI** » lunedì 30 giugno 2014, 15:44

Filippo.ingrasciotta ha scritto:scrivo il testo di 4 ese che non mi sono tornati..

1) S= ( $x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0$ ) P(1,0,0) vp(1,0,1) F()
2) S=( $x + y^2 -z = 4 , x\ge0 , z\le0$ ) P(0,2,0) vp(1,4,-1) F()
3) S=( $x^2 + y^2 =4 , x\ge0, 0\le z\le1$ ) P(2,0,0) vp(1,0,0) F()
4) S=( $x^2 + y^4 +z^4 =1 , y\ge0$ ) P(1,0,0) vp(1,0,0) F()

prova a postare lo svolgimento di un esercizio...così magari si riesce a capire dove potrebbe essere l'errore

Filippo.ingrasciotta

$S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0)$ P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

$\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1]$
il vt mi viene (1,0,-1)

$\int_{\partial S}^{} F*vt \,ds= - \int xz - senx senz \,ds$ = $\int_{0}^{1} -t*(1-t) + sent*sen(1-t) dt= -1/6 + 1/2 (sen1-cos1)$

ho provato a parametrizzare anche in un altro modo, sul piano z=0

$\partial S = (x+y^2=1) =(t,\sqrt{1-t},0) t\in[0,1]$
vt ( $1, \frac{-1}{2\sqrt{1-t}},0$ )

facendo l'integrale mi viene

$\int_{0}^{1} \frac{-t}{2\sqrt{1-t}} \, dt = -2/3$

Mi pare strano che mi vengano due valori diversi e inoltre il risultato giusto è 4/3

GIMUSI · #14 Messaggioda **GIMUSI** » lunedì 30 giugno 2014, 16:30

Filippo.ingrasciotta ha scritto: $S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0)$ P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

$\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1]$
..

mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?

Filippo.ingrasciotta

GIMUSI ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto: $S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 , z\ge0)$ P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

$\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1]$
..

mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?

Onestamente no, anche perchè mi sono posto sempre il problema di disegnare il bordo di S e non la superficie totale....ma per avere il bordo non basta semplicemente "azzerare una variabile" e parametrizzare quel bordo?

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