Isometrie del piano 3

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Isometrie del piano 3

#1 Messaggioda GIMUSI » giovedì 6 febbraio 2014, 22:27

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: del test n.51 “Isometrie del piano 3”
Allegati
AL_Esercizi - Test 51 - ISOMETRIE DEL PIANO 03.pdf
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Angelica27
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Re: Isometrie del piano 3

#2 Messaggioda Angelica27 » domenica 9 febbraio 2014, 0:25

Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please! :(

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Re: Isometrie del piano 3

#3 Messaggioda GIMUSI » domenica 9 febbraio 2014, 8:59

Angelica27 ha scritto:Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please! :(


Nella classificazione delle isometrie del piano quando non si hanno punti fissi ci sono due casi (vd. lez.49):
- traslazione;
- simmetria rispetto ad una retta più traslazione parallela alla retta stessa.

Quindi per classificare in modo completo un'isometria f(x)=Ax+b quando si ha una matrice A di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta; si possono verificare tre casi:

1 - vettore traslazione parallelo alla retta: allora si tratta proprio del caso generale previsto nella classificazione e non c'è da fare altro;

2 - vettore ortogonale alla retta: in questo caso esistono punti fissi; l'isometria è infatti una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di b_o_r_t/2 (basta fare un disegno per rendersene conto o in alternativa prendere il sistema A (x - b_o_r_t/2) + b_o_r_t/2 e determinarne i punti fissi);

OSS: al posto di b_o_r_t/2 si può prendere un qualsiasi altro punto appartenente alla retta traslata di b_o_r_t/2 rispetto all'origine

3- vettore con una componente ortogonale e una parallela rispetto alla retta: in tal caso l'isometria è una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di b_o_r_t/2 + una traslazione di vettore b_p_a_r.
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Re: Isometrie del piano 3

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 9 febbraio 2014, 23:14

GIMUSI ha scritto:Quindi per classificare in modo completo un'isometria f(x)=Ax+b quando si ha una matrice A di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta


In realtà si può anche bovinamente risolvere il sistema lineare Ax+b=x e vedere così se ci sono punti fissi e se sì quali. Se ce ne sono (necessariamente saranno una retta, che non passa per l'origine a meno che b non sia nullo), allora la trasformazione è la simmetria rispetto a quella retta, altrimenti è simmetria + traslazione parallela.

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Re: Isometrie del piano 3

#5 Messaggioda Angelica27 » lunedì 10 febbraio 2014, 15:51

Grazie mille!
Riguardo l'esercizio numero 2... l'asse di un lato non è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del lato? Come fa v1 ad appartenere alla retta (lo so che viene 0 = 0 sostituendo alla prima retta x e y)? E perché v1 e v2 (v3 e v4) vengono a coincidere? Perché io avrei pensato a farlo diversamente l'esercizio... :|

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Re: Isometrie del piano 3

#6 Messaggioda GIMUSI » lunedì 10 febbraio 2014, 21:33

Angelica27 ha scritto:Grazie mille!
Riguardo l'esercizio numero 2... l'asse di un lato non è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del lato? Come fa v1 ad appartenere alla retta (lo so che viene 0 = 0 sostituendo alla prima retta x e y)? E perché v1 e v2 (v3 e v4) vengono a coincidere? Perché io avrei pensato a farlo diversamente l'esercizio... :|


visto che v_1 appartiene a r_1 mi pare che venga un rettangolo degenere...credevo si trattasse di un refuso ma poi mi sono dimenticato di evidenziarlo e segnalarlo al prof

tu come lo hai interpretato?
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Re: Isometrie del piano 3

#7 Messaggioda Gabe » domenica 1 giugno 2014, 19:30

Gimusi una domanda, ma nell'esercizio 5 il vertice D non dovrebbe essere: D=S(B-A)+A e il vertice C: C=S(A-D)+D con S intesa la matrice di rotazione oraria con \theta=\pi/2?

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Re: Isometrie del piano 3

#8 Messaggioda GIMUSI » domenica 1 giugno 2014, 23:42

Gabe ha scritto:Gimusi una domanda, ma nell'esercizio 5 il vertice D non dovrebbe essere: D=S(B-A)+A e il vertice C: C=S(A-D)+D con S intesa la matrice di rotazione oraria con \theta=\pi/2?


sono del tutto equivalenti

infatti partendo dalle relazioni che ho impiegato io si ottengono le tue, ad esempio:

C=S(B-A)+B

D=C+(A-B)

da cui

D=S(B-A)+B+(A-B)=S(B-A)+A :)
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Re: Isometrie del piano 3

#9 Messaggioda Gabe » lunedì 2 giugno 2014, 10:47

Già, hai ragione, ieri sera non me ne sono accorto!


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