Isometrie del piano 3

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.51 “Isometrie del piano 3”

[Angelica27]

Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please!

[GIMUSI]

Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please!

Nella classificazione delle isometrie del piano quando non si hanno punti fissi ci sono due casi (vd. lez.49):
- traslazione;
- simmetria rispetto ad una retta più traslazione parallela alla retta stessa.

Quindi per classificare in modo completo un'isometria quando si ha una matrice di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta; si possono verificare tre casi:

1 - vettore traslazione parallelo alla retta: allora si tratta proprio del caso generale previsto nella classificazione e non c'è da fare altro;

2 - vettore ortogonale alla retta: in questo caso esistono punti fissi; l'isometria è infatti una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di (basta fare un disegno per rendersene conto o in alternativa prendere il sistema e determinarne i punti fissi);

OSS: al posto di si può prendere un qualsiasi altro punto appartenente alla retta traslata di rispetto all'origine

3- vettore con una componente ortogonale e una parallela rispetto alla retta: in tal caso l'isometria è una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di + una traslazione di vettore .

[Massimo Gobbino]

Quindi per classificare in modo completo un'isometria quando si ha una matrice di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta

In realtà si può anche bovinamente risolvere il sistema lineare Ax+b=x e vedere così se ci sono punti fissi e se sì quali. Se ce ne sono (necessariamente saranno una retta, che non passa per l'origine a meno che b non sia nullo), allora la trasformazione è la simmetria rispetto a quella retta, altrimenti è simmetria + traslazione parallela.

[Angelica27]

Grazie mille!
Riguardo l'esercizio numero 2... l'asse di un lato non è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del lato? Come fa v1 ad appartenere alla retta (lo so che viene 0 = 0 sostituendo alla prima retta x e y)? E perché v1 e v2 (v3 e v4) vengono a coincidere? Perché io avrei pensato a farlo diversamente l'esercizio...

[GIMUSI]

Grazie mille!
Riguardo l'esercizio numero 2... l'asse di un lato non è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del lato? Come fa v1 ad appartenere alla retta (lo so che viene 0 = 0 sostituendo alla prima retta x e y)? E perché v1 e v2 (v3 e v4) vengono a coincidere? Perché io avrei pensato a farlo diversamente l'esercizio...

visto che appartiene a mi pare che venga un rettangolo degenere...credevo si trattasse di un refuso ma poi mi sono dimenticato di evidenziarlo e segnalarlo al prof

tu come lo hai interpretato?

[Gabe]

Gimusi una domanda, ma nell'esercizio 5 il vertice D non dovrebbe essere: e il vertice C: con intesa la matrice di rotazione oraria con ?

[GIMUSI]

Gimusi una domanda, ma nell'esercizio 5 il vertice D non dovrebbe essere: e il vertice C: con intesa la matrice di rotazione oraria con ?

sono del tutto equivalenti

infatti partendo dalle relazioni che ho impiegato io si ottengono le tue, ad esempio:





da cui

[Gabe]

Già, hai ragione, ieri sera non me ne sono accorto!