Scritto d'esame 2012

Integrali multipli, anche impropri
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Scritto d'esame 2012

#1 Messaggioda Nome_utente » venerdì 14 febbraio 2014, 10:45

Viene chiesto se l'integrale converge:
\[
\int 1/(e^x^4e^y^4)\,dxdy
\]
In realtà è scritto diversamente (l'esponente della e sarebbe x^4+y^4), però le due scritture dovrebbero essere equivalenti, non riesco a scriverlo in questo modo...
Il dominio del''integrale è R^2, perciò va da -infinito a +infinito.
Quindi dovrei spezzarlo in due parti: da -infinito a 0 e da 0 a +infinito e solo se entrambi convergono l'integrale iniziale converge giusto?
Passando in coordinate polari ottengo (rho)/[e^((rho^4)((cos(theta))^4+(sin(theta))^4))]
Come faccio a dimostrare che (cos(theta))^4+(sin(theta))^4)>=c>0 ?
(rho)/[e^((rho^4)c)] devo confrontarlo con una funzione + grande e se questa converge allora converge anche l'integrale iniziale giusto?

ghisi
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Re: Scritto d'esame 2012

#2 Messaggioda ghisi » venerdì 14 febbraio 2014, 12:32

Nome_utente ha scritto:Viene chiesto se l'integrale converge:
\[
\int 1/(e^x^4e^y^4)\,dxdy
\]
In realtà è scritto diversamente (l'esponente della e sarebbe x^4+y^4), però le due scritture dovrebbero essere equivalenti, non riesco a scriverlo in questo modo...
Il dominio del''integrale è R^2, perciò va da -infinito a +infinito.

Ma che brutto modo di scrivere, siamo in più variabili!
Nome_utente ha scritto:Quindi dovrei spezzarlo in due parti: da -infinito a 0 e da 0 a +infinito e solo se entrambi convergono l'integrale iniziale converge giusto?

In realta' questa funzione non ha problemi al finito quindi non c'è ragione di spezzare
Nome_utente ha scritto:Passando in coordinate polari ottengo (\rho)/[e^{\rho^4 ((\cos(\theta))^4+(\sin(\theta))^4}]
Come faccio a dimostrare che(\cos(\theta))^4+(\sin(\theta))^4)\geq c>0 ?

si tratta di una funzione continua, strettamente positiva, definita su un compatto quindi per Weiestrass ha minimo positivo.
Nome_utente ha scritto:\rho/[e^{\rho^4c}] devo confrontarlo con una funzione + grande e se questa converge allora converge anche l'integrale iniziale giusto?


si

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Re: Scritto d'esame 2012

#3 Messaggioda Nome_utente » venerdì 14 febbraio 2014, 16:47

Non riesco a trovare una funzione più grande per fare il confronto che converga. Qualche suggerimento?

ghisi
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Re: Scritto d'esame 2012

#4 Messaggioda ghisi » venerdì 14 febbraio 2014, 19:04

Nome_utente ha scritto:Non riesco a trovare una funzione più grande per fare il confronto che converga. Qualche suggerimento?



Visto che l'esponenziale cresce piu' in fretta di ogni potenza... Ad esempio e^x \geq c x^{10}


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