Sottospazi vettoriali 5

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Sottospazi vettoriali 5

#1 Messaggioda AntiLover » giovedì 12 dicembre 2013, 18:39

Mi scusi Prof, dopo aver determinato se V e W sono in somma diretta, non riesco a capire come proseguire. Cosa dovrei fare? :( :? Grazie :)

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#2 Messaggioda GIMUSI » sabato 14 dicembre 2013, 8:47

mi pare che un esempio sul da farsi sia quello sviluppato nella lezione 36

se la somma è diretta esistono le proiezioni e si costruiscono:

- per ciascun sottospazio le matrici A di proiezione (con input e output nella base non canonica) o A* (input non canonico e output canonico)

- la matrice di cambio di base M (input non canonico e output canonico)

- le matrici di proiezione in base canonica: MAM^-^1 oppure A^*M^-^1
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Re: Sottospazi vettoriali 5

#3 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 dicembre 2013, 23:31

allego i risultati :?: del test n.27 "Sottospazi vettoriali 5"
Allegati
AL_Esercizi - Test 27 - SOTTOSPAZI VETTORIALI 05.pdf
(243.85 KiB) Scaricato 240 volte
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Re: Sottospazi vettoriali 5

#4 Messaggioda AntiLover » sabato 18 gennaio 2014, 10:57

Scusami GIMUSI, ma ho davvero difficoltà a risolvere questo esercizio :? :? :? :? Potresti svolgerne uno dalla tabella? così vedo esattamente dove sbaglio. Grazie

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#5 Messaggioda GIMUSI » sabato 18 gennaio 2014, 14:47

AntiLover ha scritto:Scusami GIMUSI, ma ho davvero difficoltà a risolvere questo esercizio :? :? :? :? Potresti svolgerne uno dalla tabella? così vedo esattamente dove sbaglio. Grazie


allego lo svolgimento dei primi due...il procedimento è quello che ho descritto in precedenza :)
Allegati
AL_Esercizi - Test 27 - SOTTOSPAZI VETTORIALI 05_es01-02.pdf
(70.73 KiB) Scaricato 214 volte
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Re: Sottospazi vettoriali 5

#6 Messaggioda AntiLover » sabato 18 gennaio 2014, 16:09

Grazie mille!!! :)

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#7 Messaggioda Angelica27 » lunedì 20 gennaio 2014, 16:30

GIMUSI, perché V e W nel numero 3 non sono in somma diretta? Non mi torna.

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#8 Messaggioda GIMUSI » lunedì 20 gennaio 2014, 16:34

Angelica27 ha scritto:GIMUSI, perché V e W nel numero 3 non sono in somma diretta? Non mi torna.


sono in somma diretta su un piano ma non su R^3
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Re: Sottospazi vettoriali 5

#9 Messaggioda Angelica27 » lunedì 20 gennaio 2014, 16:36

Thank you very much! :wink:

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#10 Messaggioda e.rapuano » lunedì 10 febbraio 2014, 19:57

A me non è molto chiaro come trovare la matrice della proiezione per ognuno dei sottospazi V e W...cioè...
prendo ad esempio il primo esercizio:
siamo d'accordo che X è somma diretta di V e W, quindi ha come base i 2 vettori (2,3) e (1,1)...
ora, se prendo un qualsiasi vettore di R^2 questo dovrà essere espresso in modo unico come somma di un elemento di V e uno di W...
Trovare la matrice di proiezione relativa a V...che significa? Graficamente che si sta cercando di fare?
Probabilmente non mi sto spiegando....allora se prendo ad esempio il vettore (2,3), la sua proiezione su V è (1,0)?? e invece la proiezione del vettore (1,1) qual è?

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#11 Messaggioda GIMUSI » lunedì 10 febbraio 2014, 21:52

e.rapuano ha scritto:...Trovare la matrice di proiezione relativa a V...che significa? Graficamente che si sta cercando di fare?
Probabilmente non mi sto spiegando....allora se prendo ad esempio il vettore (2,3), la sua proiezione su V è (1,0)?? e invece la proiezione del vettore (1,1) qual è?


con riferimento al primo esercizio credo che la matrice di proiezione V_1 funzioni in questo modo:

- qualsiasi vettore appartenente a V, cioè del tipo (2t,3t) va in se stesso: V_1*(2t,3t)=(2t,3t); il che equivale a dire che (2t,3t) è autovettore/spazio di V_1 con autovalore 1;

- qualsiasi vettore appartenente a W, cioè del tipo (t,t) va in 0: V_1*(t,t)=(0,0); il che equivale a dire che (t,t) è autovettore/spazio di V_1 con autovalore 0;

un discorso analogo vale per W_1

ora se si considera un vettore generico diciamo (5,-1) allora:

- V_1*(5,-1)=(-12,-18)

- W_1*(5,-1)=(17,17)

i due vettori ottenuti sono le proiezioni del vettore (5,-1) sui due sottospazi nel senso che:

(5,-1)=(-12,-18)+(17,17)=-6*(2,3)+17*(1,1)

quindi "-6" e "17" sono le componenti di (5,1) nella base (2,3) e (1,1)
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Re: Sottospazi vettoriali 5

#12 Messaggioda e.rapuano » martedì 11 febbraio 2014, 9:46

Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate... :|
Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W? :?:
Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice? :?:

Scusa se sono troppe domande, ma è meglio togliersi i dubbi una volta per tutte! XD

E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà? :?:
Nel caso dell'esercizio in questione l'intersezione ha invece dimensione 1, mentre il sottospazio somma V+W ha dimensione 3...il fatto che siamo in R^3 però non implica che ci sia somma diretta perchè l'intersezione non ha comunque dimensione 0 ? :?:

Mi scuso nuovamente per la marea di domande che ho posto! :| :oops:

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#13 Messaggioda GIMUSI » martedì 11 febbraio 2014, 14:46

e.rapuano ha scritto:Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate... :|


sì direi che è un caso più generale di proiezione...personalmente non parlerei di cambio di assi...la matrice di proiezione su un sottospazio V fa quello che le chiediamo di fare: se v appartiene a V allora Pv=v se w appartiene a W allora Pw=0

e.rapuano ha scritto:Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W? :?: :


per averla in base canonica quello che serve è poter costruire M...quindi è sufficiente completare la base di V...e se W è in somma diretta la sua base va più che bene

e.rapuano ha scritto:Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice? :?:


sì..se li metti in base {v_1,v_2,...v_n} la matrice di proiezione si ottiene con MAM^-^1...se li metti in canonica la matrice di proiezione si ottiene con AM^-^1

e.rapuano ha scritto:E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà? :?:


visto che si parla di sottospazi vettoriali 2 piani paralleli sono necessariamente coincidenti quindi la dimensione dell'intersezione sarebbe 2

e.rapuano ha scritto: Nel caso dell'esercizio in questione l'intersezione ha invece dimensione 1, mentre il sottospazio somma V+W ha dimensione 3...il fatto che siamo in R^3 però non implica che ci sia somma diretta perchè l'intersezione non ha comunque dimensione 0 ? :?:


esatto come da definizione...rispetto ai due piani infatti un vettore in R^3 non ha rappresentazione unica
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Re: Sottospazi vettoriali 5

#14 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 11 febbraio 2014, 15:48

e.rapuano ha scritto:Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate... :|


Diciamo che sono cose abbastanza sensate, nel senso che stai descrivendo la situazione nel caso in cui V e W sono sottospazi di dimensione 1 del piano. Le proiezioni non sono cateti di un triangolo rettangolo, ma lati di un parallelogrammo storto. La cosa cambia un po' in dimensione più alta, quando geometricamente è tutto meno disegnabile.

e.rapuano ha scritto:Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W? :?:


Diciamolo decentemente: dato un sottospazio V, *non* ha senso definire la proiezione su V e basta. Ha senso definire la proiezione su V come primo termine di una somma diretta V+W. Detto altrimenti: W diversi producono proiezioni su V diverse, anche se V è sempre lo stesso. In poche parole: per fare una proiezione bisogna essere in 2; per definire la proiezione su V, serve anche W.

Il caso della proiezione ortogonale è solo formalmente diverso: infatti si definisce la proiezione su V pensando che il W sia l'ortogonale di V.

In tutto questo le matrici non c'entrano nulla: il problema sta già nel definire la proiezione.

e.rapuano ha scritto:Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice? :?:


Questo è troppo vago: dipende quale matrice vuoi trovare, cioè è chiaro che vuoi trovare la matrice della proiezione su V, ma non è chiaro con quali basi in partenza ed arrivo.

e.rapuano ha scritto:E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà? :?:


Occhio: in questo contesto si parla di proiezioni su *sottospazi vettoriali*, quindi i piani paralleli non possono presentarsi, visto che tutto passa comunque per l'origine.

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Re: Sottospazi vettoriali 5

#15 Messaggioda e.rapuano » martedì 11 febbraio 2014, 16:22

Massimo Gobbino ha scritto:Occhio: in questo contesto si parla di proiezioni su *sottospazi vettoriali*, quindi i piani paralleli non possono presentarsi, visto che tutto passa comunque per l'origine.

Ah, giusto! :? :lol:

Costruendo la matrice così come ho detto otteniamo la matrice che rappresenta la proiezione su V avendo in partenza la base di V e in arrivo la base canonica, no?


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