Simulazione scritto d'esame 3

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Massimo Gobbino
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#16 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 20 dicembre 2013, 11:13

GIMUSI ha scritto:per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}


Vorrei segnalare che per completare l'esercizio occorre specificare anche cosa accade quando beta è uguale a -1 oppure 2, cioè se c'è non esistenza, oppure esistenza senza unicità.

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#17 Messaggioda Neomatrix092 » venerdì 20 dicembre 2013, 11:19

Allora, per rendere i vettori di partenza una base, visto che si lavora in R^3 è sufficiente che siano linearmente indipendenti. Quindi ho costruito la matrice che ha per righe i vettori di partenza (1,-2,3) , (1, 0, beta) , (1, beta, 1) e ho calcolato il determinante. Il problema è che mi viene un polinomio di secondo grado in beta, per di più a radici complesse. Mi sa tanto che sto sbagliando qualcosa... :roll:

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#18 Messaggioda GIMUSI » venerdì 20 dicembre 2013, 11:34

Massimo Gobbino ha scritto:
Vorrei segnalare che per completare l'esercizio occorre specificare anche cosa accade quando beta è uguale a -1 oppure 2, cioè se c'è non esistenza, oppure esistenza senza unicità.


mi pareva mancasse qualcosa...più tardi lo rifaccio
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#19 Messaggioda GIMUSI » venerdì 20 dicembre 2013, 11:39

Neomatrix092 ha scritto:Allora, per rendere i vettori di partenza una base, visto che si lavora in R^3 è sufficiente che siano linearmente indipendenti. Quindi ho costruito la matrice che ha per righe i vettori di partenza (1,-2,3) , (1, 0, beta) , (1, beta, 1) e ho calcolato il determinante. Il problema è che mi viene un polinomio di secondo grado in beta, per di più a radici complesse. Mi sa tanto che sto sbagliando qualcosa... :roll:


per garantire esistenza e unicità la cns è proprio quella...ricontrolla per beta i valori dovrebbero venienti reali...

per completare la discussione nei casi speciali indicati dal prof al momento non saprei
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#20 Messaggioda GIMUSI » venerdì 20 dicembre 2013, 21:54

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}


Vorrei segnalare che per completare l'esercizio occorre specificare anche cosa accade quando beta è uguale a -1 oppure 2, cioè se c'è non esistenza, oppure esistenza senza unicità.


indicando le tre condizioni con: f(v_1)=w_1,\;f(v_2)=w_2,\;f(v_3)=w_3

- per \beta=2 risulta v_3=-v_1+2v_2 ma non c'è alcun valore di \alpha per cui risulti w_3=-w_1+2w_2, quindi f non esiste

- per \beta=-1 risulta 2v_3=v_1+v_2 ma non c'è alcun valore di \alpha per cui risulti 2w_3=w_1+w_2, quindi f non esiste

- in entrambi i casi se \alpha fosse esistito si sarebbe avuta esistenza ma non unicità perché si sarebbe potuta fissare liberamente una terza condizione
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#21 Messaggioda GIMUSI » venerdì 20 dicembre 2013, 22:57

una soluzione per il quarto esercizio:

\begin{pmatrix}
  5 & 0 & 0 & -1 \\
  0 & 5 & 0 & -2 \\
  0 & 0 & 5 & -1 \\
  5 & 5 & 0 & -3 \\
  0 & 5 & 5 & -3
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z \\
  w
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  17 \\
  -1 \\
  -18 \\
 16 \\
 -19
 \end{pmatrix}
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#22 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 21 dicembre 2013, 10:47

GIMUSI ha scritto:
indicando le tre condizioni con: f(v_1)=w_1,\;f(v_2)=w_2,\;f(v_3)=w_3

- per \beta=2 risulta v_3=-v_1+2v_2 ma non c'è alcun valore di \alpha per cui risulti w_3=-w_1+2w_2, quindi f non esiste

- per \beta=-1 risulta 2v_3=v_1+v_2 ma non c'è alcun valore di \alpha per cui risulti 2w_3=w_1+w_2, quindi f non esiste

- in entrambi i casi se \alpha fosse esistito si sarebbe avuta esistenza ma non unicità perché si sarebbe potuta fissare liberamente una terza condizione


Ora va bene :D

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#23 Messaggioda Neomatrix092 » lunedì 23 dicembre 2013, 10:26

Avevo sbagliato un segno nel calcolo del det :D pardon!

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#24 Messaggioda Neomatrix092 » lunedì 23 dicembre 2013, 10:46

Qualcuno potrebbe postare il procedimento per svolgere correttamente il 4° esercizio?

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#25 Messaggioda GIMUSI » lunedì 23 dicembre 2013, 14:34

Neomatrix092 ha scritto:Qualcuno potrebbe postare il procedimento per svolgere correttamente il 4° esercizio?


io ho ragionato nel modo seguente:

- non esiste alcun valore di t per cui: (x,y,z,w)=(0,0,0,0)

- allora la soluzione generale del sistema Ax=b è del tipo "soluzione particolare"+"soluzione sistema omogeneo": (x,y,z,w)=(3,-1,-4,-2)+t(1,2,1,5)

- giacché la soluzione del sistema omogeneo ha un solo parametro libero risulta: rank(A)=n-dim(Ker)=4-1=3

- quindi ci sono solo tre equazioni indipendenti (diciamo le prime tre) che si costruiscono in modo da soddisfare la soluzione omogenea: (x,y,z,w)_O=t(1,2,1,5)

- le restanti due si possono costruire per combinazione lineare delle tre indipendenti: ad esempio "1°+2°" e "2°+3°"

- infine si determina il vettore dei termini noti b in modo tale che il sistema soddisfi anche la soluzione particolare: (x,y,z,w)_P=(3,-1,-4,-2)
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#26 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 12:33

allego le soluzioni :?: con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 3"
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#27 Messaggioda Giorgio9092 » sabato 4 gennaio 2014, 9:57

GIMUSI ha scritto:allego le soluzioni :?: con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 3"


Scusa ma per l' ultimo esercizio che ragionamento hai usato? Per la matrice iniziale basta prenderne una che soddisfi le condizioni date giusto? Non importa prendere quella che hai preso te?

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#28 Messaggioda GIMUSI » sabato 4 gennaio 2014, 10:04

Giorgio9092 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:allego le soluzioni :?: con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 3"


Scusa ma per l' ultimo esercizio che ragionamento hai usato? Per la matrice iniziale basta prenderne una che soddisfi le condizioni date giusto? Non importa prendere quella che hai preso te?


certo...una delle infinite :)
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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#29 Messaggioda nomeutente » lunedì 6 gennaio 2014, 22:22

Come trovo le soluzioni dell'omogeneo? Non capisco le prime righe della matrice!

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Re: Simulazione scritto d'esame 3

#30 Messaggioda GIMUSI » martedì 14 gennaio 2014, 18:33

nomeutente ha scritto:Come trovo le soluzioni dell'omogeneo? Non capisco le prime righe della matrice!


ti ripeterei quello che è stato già scritto prima...cosa non ti è chiaro esattamente?
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