Simulazione scritto d'esame 4

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2176
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Simulazione scritto d'esame 4

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 16 dicembre 2013, 10:04

Ecco una nuova simulazione. Forse è un po' più facile rispetto a quanto sarebbe lecito aspettarsi in sede d'esame, ma almeno sono esercizi sull'ultima parte di programma.
Allegati
Simulazione4.pdf
Simulazione scritto d'esame 4
(36.02 KiB) Scaricato 366 volte

DaroB94
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 20:33

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#2 Messaggioda DaroB94 » sabato 21 dicembre 2013, 14:46

1a) il punto Q ruotato di 45° intorno a P mi torna Q' =( -sqrt(2)/2 + 2 , 5*sqrt(2)/2 + 1)
1b) la retta r ruotata di 45° intorno a P mi torna 3x + 5y + 11*sqrt(2) - 11 = 0
1c) la matrice della trasformazione, che è composizione delle due simmetrie, è una rotazione di -2*alfa , dove alfa è l'angolo compreso tra le due rette (poichè esse sono incidenti), che mi torna circa 11,qualcosa gradi.
c'è il meno davanti perchè, dato che si fa la simmetria prima rispetto a r e poi rispetto all'asse y, si ottiene una rotazione oraria ( procedendo in senso orario si trova prima r e poi l'asse y).

Bertrand Russell
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 9
Iscritto il: mercoledì 2 ottobre 2013, 19:06

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#3 Messaggioda Bertrand Russell » martedì 24 dicembre 2013, 16:01

Scusate ragazzi ma come si fa l''esercizio 2.a?

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2176
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 1 gennaio 2014, 18:41

Bertrand Russell ha scritto:Scusate ragazzi ma come si fa l''esercizio 2.a?


Anche qui inizierei un ripassino di teoria, a partire dal completamento dei quadrati ...

Bertrand Russell
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 9
Iscritto il: mercoledì 2 ottobre 2013, 19:06

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#5 Messaggioda Bertrand Russell » giovedì 2 gennaio 2014, 14:22

Scusi professore mi sono riguardato le forme quadratiche ed ho preso la forma data dell esercizio ed ho eseguito il completamento dei quadrati e fino a qui c'ero arrivato anche prima solo che poi non so cosa devo fare per trovare il sottospazio...

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2176
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 2 gennaio 2014, 15:06

Beh, se ti è venuta ++- non sarà ora difficile trovare un sottospazio di dimensione 2 su cui è definita positiva. Basterà imporre l'annullarsi del termine con il segno -, o no?

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#7 Messaggioda Giorgio9092 » domenica 5 gennaio 2014, 10:34

qualcuno ha fatto il terzo esercizio? come si deve impostare?

nomeutente
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 84
Iscritto il: giovedì 10 ottobre 2013, 11:13

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#8 Messaggioda nomeutente » martedì 7 gennaio 2014, 11:20

Io ho provato a mettere in riga i vettori dati facendo comparire a sinistra la matrice I. La matrice A dovrebbe essere poi fatta dai vettori comparsi a destra messi in colonna. Ho poi fatto in modo che fosse simmetrica. (b = 12)
Corretto?

nomeutente
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 84
Iscritto il: giovedì 10 ottobre 2013, 11:13

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#9 Messaggioda nomeutente » martedì 7 gennaio 2014, 12:02

Il quarto esercizio? Aiuto! :D

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#10 Messaggioda GIMUSI » domenica 19 gennaio 2014, 19:02

allego le soluzioni :?: con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 4"

AntiLover ha segnalato un errore nell'esercizio 4:

- nella matrice B, in posizione (3,2) e (2,3) c'è un 43 e non 33

- allego l'aggiornamento in rev01 dell'esercizio 4 punti (b) e (c)
Allegati
Simulazione4_es4b-c_rev01.pdf
(112.07 KiB) Scaricato 215 volte
Simulazione4_sol.pdf
(699.4 KiB) Scaricato 371 volte
Ultima modifica di GIMUSI il domenica 26 gennaio 2014, 20:26, modificato 2 volte in totale.
GIMUSI

AntiLover
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 34
Iscritto il: giovedì 12 dicembre 2013, 18:33

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#11 Messaggioda AntiLover » domenica 26 gennaio 2014, 17:46

CIao GIMUSI! nell'esercizio 4 quando determino B , in posizione 3,2 e 2,3 mi trovo 43 e non 33 . poi volevo chiederti, ho difficoltà a capire esattamente dopo come procedi?applichi GS, ma non riesco a seguirti. :s grazie

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#12 Messaggioda GIMUSI » domenica 26 gennaio 2014, 19:16

AntiLover ha scritto:CIao GIMUSI! nell'esercizio 4 quando determino B , in posizione 3,2 e 2,3 mi trovo 43 e non 33


hai ragione...devo aver fatto 4+2 invece che 4*2 :(

AntiLover ha scritto:...poi volevo chiederti, ho difficoltà a capire esattamente dopo come procedi?applichi GS, ma non riesco a seguirti. :s grazie


errore a parte...il procedimento seguente conduce al risultato corretto per la B col 33...

esatto basta applicare GS (come mostrato a fine lez. 53) con la differenza che il calcolo dei prodotti scalari e delle norme si effettuta con il prodotto scalare definito da B :)
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#13 Messaggioda GIMUSI » domenica 26 gennaio 2014, 20:27

AntiLover ha scritto:CIao GIMUSI! nell'esercizio 4 quando determino B , in posizione 3,2 e 2,3 mi trovo 43 e non 33 . poi volevo chiederti, ho difficoltà a capire esattamente dopo come procedi?applichi GS, ma non riesco a seguirti. :s grazie


ho inserito l'aggiornamento dell'esercizio 4 con la matrice B corretta :)
GIMUSI

Gabe
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 80
Iscritto il: lunedì 7 aprile 2014, 13:03

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#14 Messaggioda Gabe » lunedì 2 giugno 2014, 18:07

Ragazzi due domande, nell'esercizio 2 punto a, invece che fare con il completamento dei quadrati ho fatto con la matrice associata:

B= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1/2 \\
1 & 1 & -3 \\
1/2 & -3 & 0
\end{pmatrix},

applico Sylvester e vedo che ho due permanenze e una variazione, quindi non è definita positiva.
A questo punto devo trovare il sottospazio di R^3 dove è definita positiva, io ho preso W=Span\{(0, 1, 1/2), (1, 1, -3)\}, ovvero le prime due colonne della matrice B, è corretto?

Nel punto b avrei potuto utilizzare altri metodi un pò meno "a occhio" rispetto al completamento dei quadrati, per determinare la segnatura al variare di a?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 4

#15 Messaggioda GIMUSI » martedì 3 giugno 2014, 0:23

Gabe ha scritto:Ragazzi due domande, nell'esercizio 2 punto a, invece che fare con il completamento dei quadrati ho fatto con la matrice associata:

B= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1/2 \\
1 & 1 & -3 \\
1/2 & -3 & 0
\end{pmatrix},

applico Sylvester e vedo che ho due permanenze e una variazione, quindi non è definita positiva.
A questo punto devo trovare il sottospazio di R^3 dove è definita positiva, io ho preso W=Span\{(0, 1, 1/2), (1, 1, -3)\}, ovvero le prime due colonne della matrice B, è corretto?


mi pare che non abbia molto significato considerare le colonne/righe della matrice...se si vuole operare per via matriciale, Sylvester dà la certezza che esistono sottospazi di dimensione 2 sui quali la f.q. e definita positiva (n+=2; vd. esercizi teorici su prodotti scalari e thread su "forme quadratiche 1") ma non consente di determinarli; credo che, operando per via matriciale, si debbano trovare i due autovettori corrispondenti ai due autovalori positivi (calcolo molto noioso in questo caso); in conclusione per il punto (a) il metodo C.Q. mi pare molto più efficiente e percorribile

Gabe ha scritto:Nel punto b avrei potuto utilizzare altri metodi un pò meno "a occhio" rispetto al completamento dei quadrati, per determinare la segnatura al variare di a?


in tal caso anche con Sylvester si vede immediatamente che la forma quadratica è sempre indefinita...infatti det(1)=1>0 e det((1,-3),(-3,0))=-9<0...pertanto si hanno sempre una permanenza e una variazione indipendentemente dal valore assunto dal parametro "a" :)

PS inizio ad essere un po' arrugginito su certi argomenti...spero di non aver detto qualche castroneria :roll:
GIMUSI


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti