Sottospazi vettoriali 4

[GIMUSI]

allego i risultati con svolgimento del test n.26 "Sottospazi vettoriali 4"

su segnalazioni ripetute di "13700" nella rev01 e poi nella rev02 sono stati corretti gli errori nell'esercizio "4c" circa la definizione del sottospazio tale che AB=BA (caso non banale che richiede la risoluzione di un sistema 9x9 )

OSS nel frattempo il prof. mi ha segnalata anche un errore nel 3b (per determinare W è stata imposta la condizione , mentre l'esercizio richiede =0)

...attendo altre eventuali segnalazioni prima di fare ulteriori revisioni

[zeus98]

nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??

[13700]

Ma come fai a passare da A^{-1}BA = B a A=Identità? :/

[GIMUSI]

nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??

se ...visto che non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia

in effetti non sono stato preciso perché in realtà la condizione è che sia multiplo di (cioè che sia diagonale con tutti gli elementi uguali)

se è così allora la base di sono tutti i multipli della matrice e quindi la sua dimensione è 1

[13700]

se ...visto che non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia

Non riesco a vedere il perché ... ma se uno prova a scrivere una matrice con i 9 coefficienti incogniti e fa i due prodotti e impone che siano uguali?

[GIMUSI]

se ...visto che non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia

Non riesco a vedere il perché ... ma se uno prova a scrivere una matrice con i 9 coefficienti incogniti e fa i due prodotti e impone che siano uguali?

in effetti qualche dubbio ce l'ho...le matrici multiple di soddisfano sicuramente la condizione...ma in effetti anche le matrici multiple di soddisfano la condizione...ci ripenso un po' su

[GIMUSI]

si sa che in generale per matrici reali non è vero (e per matrici complesse )...

quindi sono abbastanza convinto (ma non ho idea di come si possa dimostrare ) che le possibilità da considerare si riferiscano ai seguenti casi particolari:

1)

2) multiplo di

3) multiplo di

4) multiplo di

essendo B non invertibile restano solo la "2" e la "3" che ovviamente includono anche la "1"

[13700]

Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?

[GIMUSI]

Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?

credo tu abbia fatto bene a fare il sistemone ...più tardi proverò a far lo stesso e poi ci confrontiamo...ripensandoci in effetti non si possono escludere con certezza altri casi particolari...

ad esempio se la matrice avesse lo stesso Ker di (non è l caso dell'esercizio ma in generale potrebbe capitare) allora potrebbe esistere A non nulla tale che AB=BA=0...insomma qui urge chiarimento del Prof. Gobbino

[GIMUSI]

nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??

se ...visto che non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia

in effetti non sono stato preciso perché in realtà la condizione è che sia multiplo di (cioè che sia diagonale con tutti gli elementi uguali)

se è così allora la base di sono tutti i multipli della matrice e quindi la sua dimensione è 1

mi sa che ho detto (tanto per cambiare) una cretinata...se e fosse invertibile allora ...allora sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per multiplo di e che per multiplo di ...

il fatto è che nel caso in esame non è invertibile...quindi credo che l'unica via per determinare una base di V sia proprio il sistemone

[Massimo Gobbino]

se e fosse invertibile allora ...allora sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per multiplo di

Uhm, questo mi convince poco ... Se ad esempio B fosse l'identità, dunque più invertibile che mai ...

[GIMUSI]

se e fosse invertibile allora ...allora sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per multiplo di

Uhm, questo mi convince poco ... Se ad esempio B fosse l'identità, dunque più invertibile che mai ...

ammetto...sono nel completo marasma matriciale ...e se dicessi che

...se AB=BA e B fosse invertibile ma non multiplo di allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per multiplo di o per multiplo di ?

[Massimo Gobbino]

...se AB=BA e B fosse invertibile ma non diagonale allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per multiplo di o per multiplo di ?

Nemmeno, basta provare con una qualunque B diagonale. L'insieme delle matrici che commutano con B, come avrai osservato, è un sottospazio vettoriale, mentre quelli che consideri tu, con doppia opzione, non lo sono. In altre parole, quando è vero per l'identità e per B, allora di sicuro è vero anche per tutte le combinazioni lineari di Identità e B.

[GIMUSI]

...se AB=BA e B fosse invertibile ma non diagonale allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per multiplo di o per multiplo di ?

Nemmeno, basta provare con una qualunque B diagonale. L'insieme delle matrici che commutano con B, come avrai osservato, è un sottospazio vettoriale, mentre quelli che consideri tu, con doppia opzione, non lo sono. In altre parole, quando è vero per l'identità e per B, allora di sicuro è vero anche per tutte le combinazioni lineari di Identità e B.

ultimo tentativo poi m'arrendo...

...se e è invertibile allora è soddisfatta per = combinazione lineare di e di ?

[13700]

Uhm se il sistema che ho scritto io è giusto, ci sono anche cose che non sono combinazione lineare di I e B... perché ha almeno dimensione 3 l'insieme delle soluzioni, ma se è generato da I e B, ha dimensione 2.