Sottospazi vettoriali 4

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Sottospazi vettoriali 4

#1 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 dicembre 2013, 16:15

allego i risultati :?: con svolgimento del test n.26 "Sottospazi vettoriali 4"

su segnalazioni ripetute di "13700" nella rev01 e poi nella rev02 sono stati corretti gli errori nell'esercizio "4c" circa la definizione del sottospazio V tale che AB=BA (caso non banale che richiede la risoluzione di un sistema 9x9 :shock: )

OSS nel frattempo il prof. mi ha segnalata anche un errore nel 3b (per determinare W è stata imposta la condizione p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2}), mentre l'esercizio richiede p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})=0)

...attendo altre eventuali segnalazioni prima di fare ulteriori revisioni
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AL_Esercizi - Test 26 - SOTTOSPAZI VETTORIALI 04_rev02.pdf
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#2 Messaggioda zeus98 » lunedì 30 dicembre 2013, 12:56

nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??

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Re: Sottospazi vettoriali 4

#3 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 13:05

Ma come fai a passare da A^{-1}BA = B a A=Identità? :/

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Re: Sottospazi vettoriali 4

#4 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 13:08

zeus98 ha scritto:nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??


se AB=BA...visto che B non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia A=I

in effetti non sono stato preciso perché in realtà la condizione è che A sia multiplo di I (cioè che sia diagonale con tutti gli elementi uguali)

se è così allora la base di V sono tutti i multipli della matrice I e quindi la sua dimensione è 1
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#5 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 13:17

GIMUSI ha scritto:se AB=BA...visto che B non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia A=I


Non riesco a vedere il perché :( ... ma se uno prova a scrivere una matrice con i 9 coefficienti incogniti e fa i due prodotti e impone che siano uguali?

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Re: Sottospazi vettoriali 4

#6 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 13:41

13700 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:se AB=BA...visto che B non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia A=I


Non riesco a vedere il perché :( ... ma se uno prova a scrivere una matrice con i 9 coefficienti incogniti e fa i due prodotti e impone che siano uguali?


in effetti qualche dubbio ce l'ho...le matrici multiple di I soddisfano sicuramente la condizione...ma in effetti anche le matrici multiple di B soddisfano la condizione...ci ripenso un po' su :roll:
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#7 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 14:13

si sa che in generale per matrici reali AB=BA non è vero (e per matrici complesse :?: )...

quindi sono abbastanza convinto (ma non ho idea di come si possa dimostrare :oops: ) che le possibilità da considerare si riferiscano ai seguenti casi particolari:

1) A = 0

2) A = multiplo di I

3) A = multiplo di B

4) A = multiplo di B^-^1

essendo B non invertibile restano solo la "2" e la "3" che ovviamente includono anche la "1"
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#8 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 14:20

Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite :oops:
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?

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Re: Sottospazi vettoriali 4

#9 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 14:35

13700 ha scritto:Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite :oops:
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?


credo tu abbia fatto bene a fare il sistemone :( ...più tardi proverò a far lo stesso e poi ci confrontiamo...ripensandoci in effetti non si possono escludere con certezza altri casi particolari...

ad esempio se la matrice B avesse lo stesso Ker di B^t (non è l caso dell'esercizio ma in generale potrebbe capitare) allora potrebbe esistere A non nulla tale che AB=BA=0...insomma qui urge chiarimento del Prof. Gobbino :roll:
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#10 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 14:54

GIMUSI ha scritto:
zeus98 ha scritto:nell'esercizio con le matrici la lettera c per quanto riguarda la matrice identità la dimensione di V dovrebbe essere 3 e non 1.. giusto??


se AB=BA...visto che B non è invertibile ho dedotto che l'unica possibilità è che sia A=I

in effetti non sono stato preciso perché in realtà la condizione è che A sia multiplo di I (cioè che sia diagonale con tutti gli elementi uguali)

se è così allora la base di V sono tutti i multipli della matrice I e quindi la sua dimensione è 1


mi sa che ho detto (tanto per cambiare) una cretinata...se AB=BA e B fosse invertibile allora A=BAB^-^1...allora A sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per A multiplo di I e che per A multiplo di B...

il fatto è che nel caso in esame B non è invertibile...quindi credo che l'unica via per determinare una base di V sia proprio il sistemone :|
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#11 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 dicembre 2013, 15:10

GIMUSI ha scritto:se AB=BA e B fosse invertibile allora A=BAB^-^1...allora A sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per A multiplo di I


Uhm, questo mi convince poco ... Se ad esempio B fosse l'identità, dunque più invertibile che mai ...

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Re: Sottospazi vettoriali 4

#12 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 15:15

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:se AB=BA e B fosse invertibile allora A=BAB^-^1...allora A sarebbe simile a se stessa e questo penso sia possibile solo per A multiplo di I


Uhm, questo mi convince poco ... Se ad esempio B fosse l'identità, dunque più invertibile che mai ...


ammetto...sono nel completo marasma matriciale :shock: ...e se dicessi che

...se AB=BA e B fosse invertibile ma non multiplo di I allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per A multiplo di I o per A multiplo di B?
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#13 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 dicembre 2013, 15:22

GIMUSI ha scritto:...se AB=BA e B fosse invertibile ma non diagonale allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per A multiplo di I o per A multiplo di B?


Nemmeno, basta provare con una qualunque B diagonale. L'insieme delle matrici che commutano con B, come avrai osservato, è un sottospazio vettoriale, mentre quelli che consideri tu, con doppia opzione, non lo sono. In altre parole, quando è vero per l'identità e per B, allora di sicuro è vero anche per tutte le combinazioni lineari di Identità e B.

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Re: Sottospazi vettoriali 4

#14 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 dicembre 2013, 15:36

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:...se AB=BA e B fosse invertibile ma non diagonale allora A=BAB^-^1 sarebbe possibile solo per A multiplo di I o per A multiplo di B?


Nemmeno, basta provare con una qualunque B diagonale. L'insieme delle matrici che commutano con B, come avrai osservato, è un sottospazio vettoriale, mentre quelli che consideri tu, con doppia opzione, non lo sono. In altre parole, quando è vero per l'identità e per B, allora di sicuro è vero anche per tutte le combinazioni lineari di Identità e B.


ultimo tentativo poi m'arrendo...

...se AB=BA e B è invertibile allora A=BAB^-^1 è soddisfatta per A = combinazione lineare di I e di B?
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Re: Sottospazi vettoriali 4

#15 Messaggioda 13700 » lunedì 30 dicembre 2013, 15:45

Uhm se il sistema che ho scritto io è giusto, ci sono anche cose che non sono combinazione lineare di I e B... perché ha almeno dimensione 3 l'insieme delle soluzioni, ma se è generato da I e B, ha dimensione 2.


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