Geometria nello spazio 1

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Geometria nello spazio 1

#1 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 18 dicembre 2013, 23:14

Nell'esercizio n.4 si chiede di determinare la distanza di un punto generico P=(x,y,z) dalla retta r: (x_0,y_0,z_0)+t(x_1,y_1,z_1).

Indicando con H il generico punto sulla retta, risulta: PH=(x_0+tx_1-x,y_0+ty_1-y,z_0+tz_1-z).

Imponendo l'ortogonalita tra PH e il vettore velocità della retta v=(x_1,y_1,z_1) si ottiene: t=\frac{x_1(x-x_0)+y_1(y-y_0)+z_1(z-z_0)}{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.

Ora, sostituendo in PH e calcolando il modulo si ottiene la distanza richiesta.

Ho provato a determinare una soluzione generale ma l'espressione che ne deriva è estremamente complessa. Voi come avete fatto? ci sono modi di esprimere tale distanza in termini più semplici? Tra l'altro nell'esercizio seguente mi pare che tale espressione sia necessaria.
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Re: Geometria nello spazio 1

#2 Messaggioda nomeutente » domenica 22 dicembre 2013, 15:44

Esercizio 6: luogo dei punti equidistanti dai 3 vertici?
Che faccio?
Ho pensato di prendere un punto p (x,y,z) e con questo fare distanze dai vertici e metterle a sistema.

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Re: Geometria nello spazio 1

#3 Messaggioda GIMUSI » domenica 22 dicembre 2013, 22:48

nomeutente ha scritto:Esercizio 6: luogo dei punti equidistanti dai 3 vertici?
Che faccio?
Ho pensato di prendere un punto p (x,y,z) e con questo fare distanze dai vertici e metterle a sistema.

anch'io ho fatto così...detti A,B,C i tre vertici s'impongono le due condizioni:

d^2(PA)=d^2(PB)

d^2(PA)=d^2(PC)

i termini di secondo grado si elidono e si ottengono le equazioni di due piani, la loro intersezione individua la retta cercata

l'intersezione di questa retta con il piano contenente i vertici fornisce il circocentro richiesto nel punto seguente

allego per confronto le soluzioni che ho determinato per l'esercizio 6
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Re: Geometria nello spazio 1

#4 Messaggioda GIMUSI » giovedì 26 dicembre 2013, 16:01

allego le soluzioni :?: del test n.14 "Geometria nello spazio 1" in rev01

rispetto alla prima versione, gli esercizi 4, 5 e 9 sono stati riformulati secondo le preziose indicazioni e considerazioni fornite dal Prof. Gobbino e che trovate qui nel thread
Allegati
AL_Esercizi - Test 14 - GEOMETRIA NELLO SPAZIO 01_rev01.pdf
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Re: Geometria nello spazio 1

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 26 dicembre 2013, 17:18

Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta P_0 + tv è data dalla formula

\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}

Imponendo che quella roba faccia R^2, con un minimo di semplificazione ci troviamo

\|x-P_0\|^2\cdot\|v\|^2-\langle x-P_0,v \rangle^2=R^2\cdot\|v\|^2

Se poi vogliamo tornare in componenti ed espandere, ci troviamo ovviamente un'equazione di secondo grado nelle componenti (x,y,z) del vettore x.

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

Per quanto riguarda il cono, se voglio il cono con vertice in P_0, direttrice P_0+tv e angolo di apertura \theta, basta che imponga

\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle}{\|x-P_0\|\cdot\|v\|}=\cos\theta

Perché tutto ciò?

Facendo il quadrato e risistemando i denominatori, ancora una volta trovo un'equazione di secondo grado nelle componenti. Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando \theta tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.

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Re: Geometria nello spazio 1

#6 Messaggioda GIMUSI » giovedì 26 dicembre 2013, 18:03

Massimo Gobbino ha scritto:Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta P_0 + tv è data dalla formula

\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}



chiaro...è il teorema di pitagora

Massimo Gobbino ha scritto:
Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.


...sembrerebbe l'area del parallelogrammo individuato da A e B al quadrato

Massimo Gobbino ha scritto:Per quanto riguarda il cono, se voglio il cono con vertice in P_0, direttrice P_0+tv e angolo di apertura \theta, basta che imponga

\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle}{\|x-P_0\|\cdot\|v\|}=\cos\theta

Perché tutto ciò?


chiaro anche questo...dal significato geometrico del prodotto scalare

Massimo Gobbino ha scritto:Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando \theta tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.


proverò a rifarlo con questa impostazione
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Re: Geometria nello spazio 1

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 27 dicembre 2013, 9:43

GIMUSI ha scritto:
Massimo Gobbino ha scritto:Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta P_0 + tv è data dalla formula

\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}



chiaro...è il teorema di pitagora


o anche la sostituzione del tuo valore di t, scritto in notazione vettoriale, nella formula per la distanza al quadrato.

GIMUSI ha scritto:
Massimo Gobbino ha scritto:
Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.


...sembrerebbe l'area del parallelogrammo individuato da A e B al quadrato


Certamente, il che si interpreta molto bene geometricamente. L'area del parallelogrammo che ha 3 vertici in P_0, P_0+v e x dipende solo dalla distanza del terzo vertice, cioè il punto x, dalla retta che passa per i primi 2, che è proprio la retta data. Quindi imporre

distanza(x,retta) = costante

è equivalente a imporre Area(parallelogrammo) = costante.

GIMUSI ha scritto:
Massimo Gobbino ha scritto:Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando \theta tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.


proverò a rifarlo con questa impostazione


Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.

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Re: Geometria nello spazio 1

#8 Messaggioda GIMUSI » venerdì 27 dicembre 2013, 20:11

ho rifatto gli esercizi in questione con l'approccio indicato (ora in rev01)...ed è tutta un'altra musica...diventa tutto molto più chiaro e gestibile :D

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
Massimo Gobbino ha scritto:Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta P_0 + tv è data dalla formula

\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}



chiaro...è il teorema di pitagora


o anche la sostituzione del tuo valore di t, scritto in notazione vettoriale, nella formula per la distanza al quadrato.


nel rifare l'esercizio 4 ho visto che la formula pitagorica si ottiene "ortogonalizzando" (P-P_0) rispetto a v e calcolandone il modulo :mrgreen:

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
Massimo Gobbino ha scritto:
Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.


...sembrerebbe l'area del parallelogrammo individuato da A e B al quadrato


Certamente, il che si interpreta molto bene geometricamente. L'area del parallelogrammo che ha 3 vertici in P_0, P_0+v e x dipende solo dalla distanza del terzo vertice, cioè il punto x, dalla retta che passa per i primi 2, che è proprio la retta data. Quindi imporre

distanza(x,retta) = costante

è equivalente a imporre Area(parallelogrammo) = costante.


tutto chiaro anche qui...nell'esercizio 5 ho aggiunto anche questa osservazione e un disegnino :mrgreen:

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
Massimo Gobbino ha scritto:Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando \theta tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.


proverò a rifarlo con questa impostazione


Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.


anche per l'esercizio 9 con questo approccio è tutto molto più chiaro...ho visto che per il caso con \theta che tende a zero l'espressione del cono equivale ad imporre il parallelismo tra v e (P.P_0) :mrgreen:
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Re: Geometria nello spazio 1

#9 Messaggioda antonio » lunedì 17 ottobre 2016, 9:37

GIMUSI ha scritto:ho rifatto gli esercizi in questione con l'approccio indicato (ora in rev01)...ed è tutta un'altra musica...diventa tutto molto più chiaro e gestibile :D

[

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
proverò a rifarlo con questa impostazione


Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.


anche per l'esercizio 9 con questo approccio è tutto molto più chiaro...ho visto che per il caso con [tex]\theta[/tex] che tende a zero l'espressione del cono equivale ad imporre il parallelismo tra [tex]v[/tex] e [tex](P.P_0)[/tex] :mrgreen:


Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda la parte finale dell'esercizio 9 come riportato da GIMUSI nell'allegato pdf.
Non mi è chiaro come si giunge alll'interpretazione delle componenti del vettore V e la condizione di parallelismo.
Il Prof. parla anche di altre possibili interpretazioni....vorrei approfondire l'argomento qualcuno può darmi indicazioni :idea: ?

tnx
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Re: Geometria nello spazio 1

#10 Messaggioda GIMUSI » domenica 23 ottobre 2016, 18:55

antonio ha scritto:...

Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda la parte finale dell'esercizio 9 come riportato da GIMUSI nell'allegato pdf.
Non mi è chiaro come si giunge alll'interpretazione delle componenti del vettore V e la condizione di parallelismo.
Il Prof. parla anche di altre possibili interpretazioni....vorrei approfondire l'argomento qualcuno può darmi indicazioni :idea: ?

tnx


è trascorso un bel po' di tempo ma ho cercato di ricostruire i passaggi

forse ha creato un po' di confusione il fatto che ho utilizzato alla fine lo stesso simbolo v (rooso) impiegato all'inizo dell'esercizio (nero)

ma l'ultimo v (quello in rosso per intenderci) non ha nulla a che fare con il primo (nero)

riguardo all'interpretazione per [math] l'espressione è equivalente ad annullare il modulo di un vettore "v rosso" la cui espressione corrisponde al prodotto vettoriale del "v nero" e del vettore [math], pertanto questi ultimi due sono paralleli

non so quali possano essere le ulteriori interpretazioni :roll:
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Re: Geometria nello spazio 1

#11 Messaggioda antonio » venerdì 28 ottobre 2016, 19:05

Grazie ...provo a rivedere tenendo conto dei tuoi suggerimenti.

In merito alle interpretazione mi riferivo a quanto aveva consigliato il Prof. Gobbino nei messaggi precedenti:

Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.


:roll:

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Re: Geometria nello spazio 1

#12 Messaggioda antonio » venerdì 4 novembre 2016, 17:27

Ok. adesso è tutto più chiaro, (prodotto vettoriale) diciamo che mancavano alcuni tasselli che si trovano più avanti nel corso rispetto alla cronologia degli esercizi.
Grazie per l'aiuto.


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