Sottospazi vettoriali 1

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Sottospazi vettoriali 1

#1 Messaggioda GIMUSI » lunedì 23 dicembre 2013, 23:25

allego per confronto la sintesi dei risultati del test n.19 "Sottospazi vettoriali 1" (ho cancellato le relazioni che non definiscono sottospazi, per gli altri ho indicato solo la dimensione)

ho un dubbio sulla relazione del punto 4: p(0)\cdot p(\pi)=0

in tal caso direi che esistono due sottospazi con Dim=3 che verificano la relazione:

- per p(0)=0 i polinomi con base: x^3,x^2,x

- per p(\pi)=0 i polinomi con base: x^3-\pi^3,x^2-\pi^2,x-\pi
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#2 Messaggioda e.rapuano » martedì 24 dicembre 2013, 10:00

Ma nel punto 4: "p(x) = p(-x)" non definisce un sottospazio di dimensione 3?

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#3 Messaggioda GIMUSI » martedì 24 dicembre 2013, 10:25

e.rapuano ha scritto:Ma nel punto 4: "p(x) = p(-x)" non definisce un sottospazio di dimensione 3?


per soddisfare la relazione devono essere nulli i termini dispari x^3 e x

allora una base è (x^2,1) e quindi dim=2
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#4 Messaggioda e.rapuano » martedì 24 dicembre 2013, 10:38

ah, si, si è vero! scusa! XD

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 24 dicembre 2013, 15:41

GIMUSI ha scritto:ho un dubbio sulla relazione del punto 4: p(0)\cdot p(\pi)=0


È la stessa cosa di quando nel piano è data la relazione xy=0, quindi ...

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 24 dicembre 2013, 15:59

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:ho un dubbio sulla relazione del punto 4: p(0)\cdot p(\pi)=0


È la stessa cosa di quando nel piano è data la relazione xy=0, quindi ...


quindi esistono tre sottospazi :?:

i due con Dim=3:

- per p(0)=0 con base: x^3,x^2,x

- per p(\pi)=0 con base: x^3-\pi^3,x^2-\pi^2,x-\pi

e uno con Dim=2:

- per p(0)=0 e p(\pi)=0 con base: x(x-\pi),x^2(x-\pi)
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 24 dicembre 2013, 16:05

Nonono. La relazione data definisce un sottoinsieme che non è un sottospazio (è chiuso rispetto al prodotto per scalare, ma non rispetto alla somma, come si verifica facilmente). Punto.

Poi è vero che il sottoinsieme è unione dei due sottospazi indicati, i quali a sua volta hanno come intersezione il terzo sottospazio indicato, ma questo non cambia la risposta alla domanda. E' come prendere nello spazio l'unione di due piani passanti per l'origine: entrambi sono sottospazi, la loro intersezione è un sottospazio, ma l'unione non è un sottospazio. Quindi se la relazione data definisce l'unione bisognerà farsene una ragione.

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#8 Messaggioda GIMUSI » martedì 24 dicembre 2013, 16:19

chiaro...era proprio questo il dubbio che avevo...esistono tre sottospazi che (presi singolarmente) soddisfano la relazione...ma la relazione non definisce un sottospazio...proprio come gli assi x, y e lo 0 nel piano
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#9 Messaggioda matt_93 » martedì 21 gennaio 2014, 17:46

esercizio 2:
x^2 + y^2 = 0, mi torna di dimensione 2 ed una possibile base è { (1,1,0), (0,0,1) } indicando z come parametro libero, e trasformando la cartesiana in un equazione parametrica...te come hai fatto a farti venire dimensione 1?
esercizio 3:
come mai x^2 + y^2 + z^2 = 0 ha dimensione 0?

grazie per l'eventuale risposta

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#10 Messaggioda GIMUSI » martedì 21 gennaio 2014, 18:02

matt_93 ha scritto:esercizio 2:
x^2 + y^2 = 0, mi torna di dimensione 2 ed una possibile base è { (1,1,0), (0,0,1) } indicando z come parametro libero, e trasformando la cartesiana in un equazione parametrica...te come hai fatto a farti venire dimensione 1?
esercizio 3:
come mai x^2 + y^2 + z^2 = 0 ha dimensione 0?

grazie per l'eventuale risposta


ho ragionato nel modo seguente:

x^2 + y^2 = 0 equivale alla condizione x=y=0 quindi una base è composta dall'unico vettore (0,0,1) e dunque il sottospazio ha dimensione 1

per gli stessi motivi x^2 + y^2 + z^2 = 0 in R^3 ha dimensione 0 visto che la relazione è soddisfatta solo da (0,0,0)

PS ma perché non utilizzi il latex...basta selezionare le formule così come le hai scritte e pigiare il tasto "tex" della barra che compare nell'editor...rende tutto molto più leggibile...per i simboli più complessi puoi dare un'occhiata anche qui http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics sembra lungo ma quando ci prendi un po' la mano ci vuole un attimo :)
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#11 Messaggioda matt_93 » martedì 21 gennaio 2014, 22:32

Ok, non lo sapevo....
grazie

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#12 Messaggioda eclipse-sk » giovedì 17 aprile 2014, 12:41

ciao GIMUSI mi stavo chiedendo quale modo di procedere sia più corretto: il primo è, tramite la definizione di sottospazio, verificare le 2 condizioni: ( x_1 + x_2 ) \in W e ax \in W ... il secondo è trasformare le equazioni cartesiane in parametriche e verificare se lo spazio che generano passa per l'origine.. che mi consigli? ho iniziato con il primo metodo solo che ho riscontrato dei problemi: per esempio all'esercizio: x^2 + y^2 = 1 \to ( x_1 + x_2 )^2 + ( y_1 + y_2 )^2 = 1 mi porta a verificare che 2(x_1x_2 + y_1y_2) \geq -1.. e qua non so come procedere.. tu come hai risolto?

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#13 Messaggioda eclipse-sk » giovedì 17 aprile 2014, 12:45

ps: Nell'esercizio x^2 = y^2 a me viene che la condizione genera un sottospazio di dimensione 2, ho proceduto così: x^2 = y^2 \implies x = y \implies z = t, y = s, x = s cioè s(1,1, 0) + t(0, 0, 1) che genera un piano passante per l'origine.. dove sbaglio?

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#14 Messaggioda GIMUSI » giovedì 17 aprile 2014, 14:09

eclipse-sk ha scritto:ciao GIMUSI mi stavo chiedendo quale modo di procedere sia più corretto: il primo è, tramite la definizione di sottospazio, verificare le 2 condizioni: ( x_1 + x_2 ) \in W e ax \in W ... il secondo è trasformare le equazioni cartesiane in parametriche e verificare se lo spazio che generano passa per l'origine.. che mi consigli?


io ho sempre operato secondo la definizione…

l’altro metodo non l’ho mai utilizzato e non ho capito bene come andrebbe applicato (il passaggio per l’origine è condizione necessaria ma non sufficiente a definire un sottospazio)

eclipse-sk ha scritto:ho iniziato con il primo metodo solo che ho riscontrato dei problemi: per esempio all'esercizio: x^2 + y^2 = 1 \to ( x_1 + x_2 )^2 + ( y_1 + y_2 )^2 = 1 mi porta a verificare che 2(x_1x_2 + y_1y_2) \geq -1.. e qua non so come procedere.. tu come hai risolto?


vediamo l’esempio x^2+y^2=1 (punti della circonferenza unitaria con centro nell’origine)

già il fatto che non contenga (0,0) consente di affermare che non si tratta di un sottospazio

volendo procedere secondo la definizione siano

v_1=(x_1,y_1) \in Wallora x_1^2+y_1^2=1

v_2=(x_2,y_2) \in W allora x_2^2+y_2^2=1

consideriamo la somma

v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)

che non appartiene a W infatti

(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2= x_1^2+y_1^2 + x_2^2+y_2^2 +2x_1x_2+2y_1y_2 =2+2x_1x_2+2y_1y_2 \neq 1

(non capisco da dove ti venga fuori la diseguaglianza)
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#15 Messaggioda GIMUSI » giovedì 17 aprile 2014, 14:18

eclipse-sk ha scritto:ps: Nell'esercizio x^2 = y^2 a me viene che la condizione genera un sottospazio di dimensione 2, ho proceduto così: x^2 = y^2 \implies x = y \implies z = t, y = s, x = s cioè s(1,1, 0) + t(0, 0, 1) che genera un piano passante per l'origine.. dove sbaglio?


x^2=y^2

in questo caso la verifica su (0,0) non consente di escludere che si tratti di un sottospazio

procediamo secondo la definizione, siano

v_1=(x_1,y_1) \in W allora x_1^2=y_1^2

v_2=(x_2,y_2) \in W allora x_2^2=y_2^2

consideriamo

v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)

che non appartiene a W infatti

(x_1+x_2)^2=(y_1+y_2)^2

x_1x_2=y_1y_2

ma questa relazione non è vera in generale, basta prendere ad esempio

v_1=(1,-1) \in W

v_2=(2,2) \in W

2 \neq -2

(la relazione di partenza infatti rappresenta le bisettrici y=x e y=-x)
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