esercizio teorico

[Noisemaker]

gentile professore, vorrei capire come risolvere questo problema.


Sia una funzione crescente (in senso deble) tale che la sua immagine risulti un intervallo. Dimostrare che è contina.

io ho fatto questo ragionamento:

sia poiché è monotona crecente, esiste la funzione inversa anch'essa monotona crescente che risulerà definita da ; poichè l'inversa di una funzione continua è anch'essa continua, basterebbe dimostrare che la funzione risulta continua per concludere che è continua. La funzione è monotaona crescente definita in un intervallo, e sappiamo che se anche l'insieme d'arrivo è un intervallo allora si può concludere che la funzione è continua; ma l'insieme d'arivo è che non è un intervallo, come si può concludere che e quindi sia continua?

[Massimo Gobbino]

poiché è monotona crecente, esiste la funzione inversa

Se la monotonia è solo debole, non è detto che l'inversa esista. Pensa al caso di un tratto piatto ...

[Noisemaker]

...la strada è dunque sbagliata ..

[Massimo Gobbino]

...la strada è dunque sbagliata ..

Già

Riparti: cosa vuol dire dimostrare che è continua?

[Noisemaker]

Una funzione è continua in se, per ogni successione a valori nel dominio della funzione e convergente a la successione converge a

Il fatto che l'immagine sia un intervallo, ci suggerisce che la funzione è limitata; dunque esiste un numero tale che

considerando una successione , la successione risulterà monotona crecente e limitata e dunque ammette limite finito; allora la funzione risulta continua

[Massimo Gobbino]

Era molto meglio la partenza che ora hai cancellato

[Noisemaker]

Era molto meglio la partenza che ora hai cancellato

quindi ancora non ci siamo...

[Massimo Gobbino]

No, per due motivi: non c'è ragione per cui debba essere monotona crescente e, se anche lo fosse (ma, ripeto, non è detto che lo sia), dovresti dimostrare che il suo limite è proprio e non qualcos'altro.

[Noisemaker]

...non ne esco!

[Massimo Gobbino]

Il limite da sinistra esiste. Perché? Il limite da destra esiste. Perché? Come si situano tali limiti rispetto ad ? Cosa succederebbe se fossero diversi tra di loro?

[Noisemaker]

Riprovo:

consideriamo un punto e bisogna dimostrare che la funzione è continua nel punto cioè che:



Il Punto è certamente di accumulazione per il dominio ed individua due insiemi e tali che

Dimostriamo che il limite sinistro coincide con il vaolre della funzione nel punto l'altro caso è evidentemente analogo.

Poichè la funzione è monotona crescente in che ha come estremo superiore e dunque



in tal caso per ogni valore di si ha che



I valori e appartengono all'intervallo pertanto, se essi fossero distinti, allora l'intervallo che li ha come estremi sarebbe incluso in cioè:



questo in realtà è un assurdo in quanto la funzione è monotona per ipotesi, e quindi per Ogni si ha che :





pertanto nessun valore è compreso nell'intervallo (piochè abbiamo supposto e non )

Allora l'uguaglianza tra il limite in e il valore valore della funzione in cioè indica che la funzione è continua.

[Massimo Gobbino]

Le idee ora più o meno ci sono, ma ci sono molti dettagli che così non vanno. Ad esempio non è vero che , così come non è vero che (definito come limite sinistro) sta nell'immagine della funzione, e così via ...

[Francesco]

Buongiorno.

La mia idea è la seguente.

Il limite da sinistra, così come quello da destra esistono perchè la funzione è monotona.

Se il limite da sinistra, e analogamente da destra, assumono valori diversi da f in allora i valori che assume la funzione non appartengono a un intervallo, contro l'ipotesi.

Tuttavia ho difficoltà a formalizzare per benino il concetto.

EDIT: corretto il "code"

[Massimo Gobbino]

L'idea è corretta. Per formalizzarla, siano il limite da sinistra ed il limite da destra. Allora si ha che . Perché?

Se , allora siamo felici ed abbiamo finito.

Se , allora si tratta di far vedere che tutto l'intervallo è contenuto nell'immagine della funzione. Perché questo è vero? Non perché ed sono a loro volta contenuti nell'immagine, in quanto questo non è detto che sia vero (basti pensare ad una f strettamente monotona ...). Però l'immagine contiene di sicuro roba minore di e roba maggiore di (perché?), quindi ...

Una volta che tutto l'intervallino è contenuto nell'immagine della funzione, vuol dire che tutti i valori al suo interno devono essere presi. Ma in questo intervallino l'unico valore che può essere preso è . Perché? Da qui l'assurdo è immediato.

[Francesco]

Sia e
( i limiti esistono finiti o infiniti perchè f è debolmente crescente. Il ragionamento che segue è stato pensato nel caso in cui i limiti siano finiti. Andrà adattato nel caso in cui uno o entrambi i limiti siano infiniti)

perchè

ovvero f debolmente crescente.


Supponiamo

La funzione assume valori più piccoli di . Perchè? Perchè f(x) è definita in un intorno sinistro di (esiste ) unitamente al fatto che la funzione è debolmente crescente.

In modo analogo la funzione assume valori più grandi di

Quindi se la funzione assume valori più piccoli di e più grandi di , poichè per ipotesi la sua immagine è un intervallo, allora dovrà assumere tutti i valori in (passatemi l'informalità del qualcosina) e in particolare l'intervallino è contenuto nell'immagine della funzione (anzi azzarderei dicendo che l'intervallo è contenuto nell'immagine della funzione .

In questo intervallino l'unico valore che può essere preso è . Pertanto l'intervallo concide con { } e dunque , ovvero l'assurdo avendo ipotizzato .

Il probelma è che non riesco a formalizzare il fatto che l' intervallino contiene solo il valore di .
suggerimenti?
Grazie
EDIT: correzioni codice latex