Integrale improprio : Verifica

Noisemaker

Si discuta la convergenza dell'integrale improprio

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}\,\,dx$

La funzione integranda è definita $\forall x>0,x\not=1,$ infatti:

$\begin{cases} x^{ \alpha }\not=0 &\to\forall x\not=0,x>0 \\ \sqrt{\left|\ln x\right|}\not=0 &\to \left|\ln x\right|\not=0\to x\not=1 \\ \left|\ln x\right|>0 &\to\forall x\in\mathbb{R}, x >0 \\ \end{cases}$

ed è sempre positiva in [0; 1],

$\begin{cases} \sin x^2-\sin^2x >0 &\to\forall x\in[0;1] \\ x^{ \alpha}>0 &\to\forall x\in[0;1]\\ \sqrt{\left|\ln x\right|}>0&\to\forall x\in\mathbb{R} \end{cases}$

possiamo quindi considerare il confronto asintotico:

$x\to0^+$

$\displaystyle \frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} \stackrel{\bf (T)}{\sim}\frac{ x^2-\frac{ x^6}{3!}-\left( x -\frac{ x^3}{3!}\right) ^2 }{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} =$ $\displaystyle\frac{ x^2-\frac{ x^6}{3!}- x^2-\frac{ x^6}{36}+ \frac{ x^4}{3} }{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}=$ $\displaystyle\frac{ x^4}{ 3x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} =\frac{ 1}{ 3x^{ \alpha-4 } \left|\ln x\right|^{\frac{1}{2}} }$

$\text{converge se }\,\,\,\,\alpha-4<1\to\alpha<5$

$x\to1^-$

$\displaystyle\frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} \to\frac{\sin 1-(\sin1)^2}{ 1^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln 1\right|}}$ = $\displaystyle\frac{C}{0}= +\infty$

$\text{essendo \,\,\,$\sin x^2-\sin^2x>0$}$

dunque si conclude che l'integrale non converge;

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Questo non va molto bene

Per quanto riguarda il problema a 0, la risposta è corretta, ma non si può ignorare impunemente il logaritmo come hai fatto tu.

Per quanto riguarda il problema in 1, è concettualmente sbagliato. Il fatto che quel limite venga +infinito dice semplicemente che l'integrale è improprio, non che diverge!!!

Noisemaker

Massimo Gobbino ha scritto:Questo non va molto bene

Per quanto riguarda il problema a 0, la risposta è corretta, ma non si può ignorare impunemente il logaritmo come hai fatto tu.

non ho ignorato il logaritmo ... se $\alpha>5$ abbiamo una serie di Abel che converge indipendentemente dall'andamento del logaritmo....

Massimo Gobbino ha scritto:Per quanto riguarda il problema in 1, è concettualmente sbagliato. Il fatto che quel limite venga +infinito dice semplicemente che l'integrale è improprio, non che diverge!!!

si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda; l'integrale diverge nell'intervallo (0,1)

poiche converge nel punto x=0

se $\alpha>5$ e diverge in

indipendentemente dal valore di $\alpha$ quindi nell'intevallo di integrazione ""l'area"" sotto la curva in ogni caso risulta infinita, in quel senso intendevo l'integrale diverge...

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Noisemaker ha scritto:abbiamo una serie di Abel che converge indipendentemente dall'andamento del logaritmo....

Cos'è una serie di Abel? E cosa c'entra con la convergenza di un integrale improprio?

Noisemaker ha scritto:si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda;

Questa è una frase che purtroppo si sente dire molte volte, ma non vuol dire nulla. Non è il fatto che una funzione non sia definita in un punto a rendere improprio un integrale.

Noisemaker ha scritto: e diverge in indipendentemente dal valore di $\alpha$

Questa è la parte di cui non ho capito il motivo.

Noisemaker

Massimo Gobbino ha scritto:
Noisemaker ha scritto:si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda;

Questa è una frase che purtroppo si sente dire molte volte, ma non vuol dire nulla. Non è il fatto che una funzione non sia definita in un punto a rendere improprio un integrale.

...una funzione LIMITATA è integrabile (secondo Reimann) ma una funzione non limitata non è in generale integrabile, e quindi si parla di integrale generalizzato(improrio); una funzione $f:(0;1)\to \mathbb{R}$ non è in generale limitata, ad esempio, nel nostro caso, quando $x\to 1$ la funzione risulta illimitata superiormete, in tal caso si valuta il limite per $x\to 1$ e se tale limite è finito allora la funzione è integraile (in senso improrio) nell' intervallo; se il limite è infinito la funzione non è dotata di integrale, nemeno in senso mprorio

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Noisemaker ha scritto:una funzione $f:(0;1)\to \mathbb{R}$ non è in generale limitata, ad esempio, nel nostro caso, quando $x\to 1$ la funzione risulta illimitata superiormete, in tal caso si valuta il limite per $x\to 1$ e se tale limite è finito allora la funzione è integraile (in senso improrio) nell' intervallo; se il limite è infinito la funzione non è dotata di integrale, nemeno in senso mprorio

Spero che questa definizione bizzarra sia un effetto del gran caldo!

Noisemaker

...sarà il caldo ..

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