I 3 cilindri - Errata corrige

Integrali multipli, anche impropri
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MindFlyer
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Iscritto il: giovedì 17 marzo 2005, 5:44

I 3 cilindri - Errata corrige

#1 Messaggioda MindFlyer » venerdì 15 agosto 2008, 16:30

Mi è ricapitato per caso questo vecchio problema:
http://forum.dma.unipi.it/Studenti/viewtopic.php?t=45
e mi sono accorto di un brutto errore che feci nel calcolo della superficie del solido.

Ora che abbiamo capito com'è fatto il solido intersezione, possiamo agevolmente calcolarne la superficie. Infatti, esattamente 4 sue facce appartengono alla superficie di uno dei cilindri generatori, e la loro unione misura esattamente la metà della superficie laterale di un cilindro di raggio 1 e altezza sqrt(2). Quindi la superficie è 3*2*pigreco*sqrt(2)/2 = 3*sqrt(2)*pigreco.

In realtà, stirando quelle facce su un piano, vengono dei rombi con i lati curvi e convessi, e non dei rombi. Quindi la mia valutazione contiene un errore per difetto (un bel 5% circa).

Il calcolo corretto può essere fatto in modo canonico con un integrale, oppure notando che il solido può essere scomposto in 12 "piramidi a base cilindrica", coi vertici nel centro della sfera ad esso inscritta, il che porta immediatamente a concludere che il rapporto tra volume e superficie è 1/3 del raggio di tale sfera. Ed il calcolo del volume, quello sì, era giusto.

Pensavo fosse "onesto" dirvelo, per evitare confusioni... Purtroppo non ho potuto modificare il vecchio messaggio, o scrivere la correzione in quello stesso thread, perché è archiviato.
Buon Ferragosto! :roll:

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