Integrali tripli 4

Integrali multipli, anche impropri
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Giacinto Gallina
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Integrali tripli 4

#1 Messaggioda Giacinto Gallina » martedì 15 maggio 2018, 16:04

L'esercizio in questione chiede di integrare la funzione [math] sull'insieme [math] tale che [math],[math],[math].
Intanto si osserva che ci si può limitare a studiare il problema per [math] e moltiplicare per 2, visto che l'insieme è simmetrico per [math].
L'insieme che si ottiene è il complementare in [math] dell'instersezione fra la parte superiore della sfera e un parallelepipedo con [math] e [math] variabile. Quindi per ottenere l'integrale richiesto basta integrare su tutta la semisfera superiore e sottrarre l'integrale sull'intersezione descritta per poi moltiplicare per 2. Tale intersezione corrisponde al parallelepipedo per [math][math] e alla calotta sferica per [math]. Invece il problema sorge quando [math] e l'intersezione corrisponde all'intersezione fra una circonferenza e un quadrato. Come si può calcolare l'area di tale intersezione volendo integrare per sezioni? È conveniente ragionare così o c'è un modo più furbo?

ghisi
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Re: Integrali tripli 4

#2 Messaggioda ghisi » mercoledì 16 maggio 2018, 15:37

Ci sono tanti modi per affrontare un esercizio. Io questo lo faccio così di solito: usa le simmetrie per ridurti a [math], [math], [math]. Adesso integra in [math] (sostanzialmente è integrare per colonne). Ti ritrovi quindi da integrare

[math]

su

[math], [math], [math].

Puoi ridurti al caso in cui [math]. E ora su questo insieme si possono usare le coordinate polari (otterrai che l'insieme in cui varia [math] dipende da [math]...).

Edoardo Gabrielli
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Re: Integrali tripli 4

#3 Messaggioda Edoardo Gabrielli » domenica 20 gennaio 2019, 11:09

Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?
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ghisi
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Re: Integrali tripli 4

#4 Messaggioda ghisi » domenica 20 gennaio 2019, 12:08

Edoardo Gabrielli ha scritto:Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?


Il problema è che la negazione di ( [math] e [math]) non è ([math] e [math]). Prova a fare un disegno per convincerti.


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