Gauss-Green 1

Integrali multipli, anche impropri
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e.rapuano
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Gauss-Green 1

#1 Messaggioda e.rapuano » mercoledì 2 luglio 2014, 18:28

Salve, ho avuto alcuni problemi nella risoluzione degli esercizi su Gauss-Green in dimensione 3.

1) Nel primo esercizio l'insieme datomi è: 0<=x<=y<=z<=1
...non mi è stato facile riuscire ad immaginare l'aspetto di questo insieme, perciò ho impostato l'integrale facendo variare z da 0 a 1, x da 0 a z, e y da x a z...
....e forse solo per puro caso mi ritrovo il risultato giusto...qual è un metodo più formale per impostare l'integrale quando l'insieme è dato in questa maniera?

2) problema analogo nel secondo esercizio: stavolta l'inseme è 0<=y<=z<=x^2<=1.
l'ho impostato per colonne facendo variare z da y a x^2, y da 0 a x^2 e x da 0 a 1....
...c'è qualcosa di corretto in tutto ciò? Se sì, devo aver fatto qualche errore di calcolo perchè il risultato non si trova.

3)Nell'esercizio ancora successivo mi esce 32pigreco mentre nelle soluzioni c'è scritto semplicemente 32...e io non so dove possa aver sbagliato perchè si trattava di integrare la divergenza del campo (che usciva =3) su una sfera di raggio 2...non esce semplicemente 3 volte il volume della sfera (e dunque anche col pigreco)?

4)Intersezione fra cilindri: x^2+y^2<=1 e x^2+z^2<=1
per poter svolgere l'integrale per sezioni (avendo per sezioni dei quadrati di lato variabile), devo far variare la x da -1 a 1? In questo caso, però, nell'integrale doppio da calcolare sulla figura "quadrato" c'è una funzione in z da integrare, il che non mi permette di moltiplicare semplicemente l'integrale in x per l'area del quadrato....che poi quale sarebbe in questo caso il lato del quadrato in dipendenza da x? Le immagini tridimensionali mi fanno girare un pò troppo la testa :cry:

5) Ultimo interrogativo:
ho come insieme: x^4+y^4<=1, 0<=z<=1;
il campo è una cosa abbastanza brutta ma la sua divergenza è : 3yx^2 + x + xe^(xy)...
L'integrale dovrebbe uscire abbastanza semplice per colonne o sezioni, anche perchè dividendo il tutto in tre integrali, si nota che per simmetria si annullano sia l'integrale di 3yx^2 che quello di x (entrambi sull'insieme x^4+y^4<=1)....ma xe^(xy) ???? Non è dispari come funzione...quindi non posso affermare che si annulla per simmetria, no?

Scusate il bordello, spero non vi annoiate troppo a darmi una mano! :D

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Re: Gauss-Green 1

#2 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 2 luglio 2014, 18:40

ciao e.rapuano :)

...il thread dedicato a GG è "Calcolo Vettoriale"

se guardi lì ci sono già molti esercizi svolti e mi pare che alcuni siano proprio quelli da te sottoposti

per quelli che non trovi là, per poterti dare una mano o qualche consiglio, ti chiederei di postare il testo completo preferibilmente di un esercizio alla volta in modo tale che in futuro siano più facilmente rintracciabile anche dagli altri utenti
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Re: Gauss-Green 1

#3 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 2 luglio 2014, 18:43

e.rapuano ha scritto:Salve, ho avuto alcuni problemi nella risoluzione degli esercizi su Gauss-Green in dimensione 3.

1) Nel primo esercizio l'insieme datomi è: 0<=x<=y<=z<=1
...non mi è stato facile riuscire ad immaginare l'aspetto di questo insieme, perciò ho impostato l'integrale facendo variare z da 0 a 1, x da 0 a z, e y da x a z...
....e forse solo per puro caso mi ritrovo il risultato giusto...qual è un metodo più formale per impostare l'integrale quando l'insieme è dato in questa maniera?


credo che vada bene fissare una delle tre variabili (ad esempio z=k in questo caso) e vedere cosa succede nel piano corrispondente (ad esempio xy)...così ci si riconduce a insiemi piani più semplici....in molti esercizi ho fatto così e resta tutto sotto controllo :)
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Re: Gauss-Green 1

#4 Messaggioda e.rapuano » mercoledì 2 luglio 2014, 19:38

Ciao GIMUSI, ti mancavo? :D
Potresti solo darmi la tua opinione sui punti 3) e 5) da me elencati?
Per questi due ho dato abbastanza informazioni anche se non ho scritto tutto il testo! XD
Per il resto mi trasferirò nel giusto thread!

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Re: Gauss-Green 1

#5 Messaggioda ghisi » mercoledì 2 luglio 2014, 20:03

e.rapuano ha scritto:Salve, ho avuto alcuni problemi nella risoluzione degli esercizi su Gauss-Green in dimensione 3.


3)Nell'esercizio ancora successivo mi esce 32pigreco mentre nelle soluzioni c'è scritto semplicemente 32...e io non so dove possa aver sbagliato perchè si trattava di integrare la divergenza del campo (che usciva =3) su una sfera di raggio 2...non esce semplicemente 3 volte il volume della sfera (e dunque anche col pigreco)?



Che versione hai dell'eserciziario? Perchè nella versione 2011/2012 (cioè l'ultima) il risultato è con il \pi

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Re: Gauss-Green 1

#6 Messaggioda e.rapuano » mercoledì 2 luglio 2014, 20:04

Ah ecco...meno male, è un errore di stampa allora...ho la versione 2010/2011... :roll:

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Re: Gauss-Green 1

#7 Messaggioda ghisi » mercoledì 2 luglio 2014, 20:07

e.rapuano ha scritto:Ah ecco...meno male, è un errore di stampa allora...ho la versione 2010/2011... :roll:


Occhio quella era la prima versione, e di errori di stampa ce ne sono vari... oltre al fatto che mancano intere schede di esercizi e compiti.

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Re: Gauss-Green 1

#8 Messaggioda ghisi » giovedì 3 luglio 2014, 8:28

e.rapuano ha scritto:Salve, ho avuto alcuni problemi nella risoluzione degli esercizi su Gauss-Green in dimensione 3.


5) Ultimo interrogativo:
ho come insieme: x^4+y^4<=1, 0<=z<=1;
il campo è una cosa abbastanza brutta ma la sua divergenza è : 3yx^2 + x + xe^(xy)...
L'integrale dovrebbe uscire abbastanza semplice per colonne o sezioni, anche perchè dividendo il tutto in tre integrali, si nota che per simmetria si annullano sia l'integrale di 3yx^2 che quello di x (entrambi sull'insieme x^4+y^4<=1)....ma xe^(xy) ???? Non è dispari come funzione...quindi non posso affermare che si annulla per simmetria, no?


In effetti c'è una simmetria (a z fisso, oppure dopo aver integrato in z), ma rispetto all'origine (sostituisci (-x,-y) a (x,y)).

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Re: Gauss-Green 1

#9 Messaggioda e.rapuano » giovedì 3 luglio 2014, 15:05

Ah, giusto! Grazie! :)


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