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integrale improprio

Inviato: lunedì 2 giugno 2014, 15:19
da matt_93
Buongiorno a tutti i giorni! Sono alle prese con un integrale improprio che non riesco a risolvere:

\displaystyle\int_{A}{\arctan x\over (x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\,dx\,dy

Dovrei dimostrare per quali valori di \alpha si ha convergenza.
A è il primo quadrante.

Re: integrale improprio

Inviato: lunedì 2 giugno 2014, 17:57
da Nome_utente
1<\alpha<3/2

Va spezzato in due parti: 0<\rho<1 e 1<\rho<+\infty

Re: integrale improprio

Inviato: lunedì 2 giugno 2014, 23:20
da matt_93
Ok, così dimostro i valori di \alpha per cui l'integrale converge, cioè:
1\leq\alpha\leq{3\over2}
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?

Re: integrale improprio

Inviato: martedì 3 giugno 2014, 8:47
da GIMUSI
matt_93 ha scritto:Ok, così dimostro i valori di \alpha per cui l'integrale converge, cioè:
1\leq\alpha\leq{3\over2}
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?


allego lo svolgimento dell'esercizio

per la parte "vicino a zero" il criterio asintotico dovrebbe fornire una condizione "se e solo se" sul valore di convergenza \alpha<3/2 (con le minorazioni/maggiorazioni non saprei come fare :roll: )

per la parte a +infinito si può operare per confronto con due sotto casi mostrando che il valore \alpha>1 e un "se e solo se" per la convergenza

Re: integrale improprio

Inviato: martedì 10 giugno 2014, 8:50
da ghisi
GIMUSI ha scritto:[
per la parte "vicino a zero" il criterio asintotico dovrebbe fornire una condizione "se e solo se" sul valore di convergenza \alpha<3/2 (con le minorazioni/maggiorazioni non saprei come fare :roll: )




Per farlo con le maggiorazioni/minorazioni basta usare che esiste una costante C>0 tale che se 0\leq x
\leq 1 allora

Cx \leq \arctan x \leq x.

(che in fondo è quello che c'è alla base del confronto asintotico)

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 11 giugno 2014, 12:15
da AntiLover
Scusate, qualcuno mi aiuti! :( non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!! :) :)

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 11 giugno 2014, 14:16
da GIMUSI
AntiLover ha scritto:Scusate, qualcuno mi aiuti! :( non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!! :) :)


ha l'aria di convergere...forse si potrebbe provare a minorarlo impiegando la diseguaglianza di cosx per 0\leq x \leq1 (vd. lez. 52 AM01 2010/11)

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 11 giugno 2014, 21:29
da GIMUSI
GIMUSI ha scritto:
AntiLover ha scritto:Scusate, qualcuno mi aiuti! :( non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!! :) :)


ha l'aria di convergere...forse si potrebbe provare a minorarlo impiegando la diseguaglianza di cosx per 0\leq x \leq1 (vd. lez. 52 AM01 2010/11)


allego lo svolgimento con la minorazione indicata :)

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 9 luglio 2014, 21:39
da volm92
Ho un problema con un Integrale Improprio:

$\[\int_{\mathbb{R}\smallsetminus D}^{} \frac{|x|}{(x^2+y^2)^2}dxdy\]$
Dove D è un cerchio nel piano con centro nell'origine e raggio 2.

Andando avanti e passando in coordinate polari arrivo a questo punto:

$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$ che essendo facile e svolgendolo viene che converge a 2.

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$ converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi :)
Grazie!

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 9 luglio 2014, 22:26
da GIMUSI
volm92 ha scritto:...

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$ converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi :)
Grazie!


non ho capito cosa non ti è chiaro...la soluzione dell'integrale improprio mi pare corretta

per quanto riguarda gli integrali impropri notevoli nella lezione 54 sono richiamati i casi "padre" di analisi 1 (spiegati ad esempio nella lezione 76 di AM1 2010/11)

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 9 luglio 2014, 22:43
da volm92
GIMUSI ha scritto:
volm92 ha scritto:...

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$ converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi :)
Grazie!


non ho capito cosa non ti è chiaro...la soluzione dell'integrale improprio mi pare corretta

per quanto riguarda gli integrali impropri notevoli nella lezione 54 sono richiamati i casi "padre" di analisi 1 (spiegati ad esempio nella lezione 76 di AM1 2010/11)


Non mi torna il fatto che, se NON svolgessi l'integrale, e ragionassi sulla convergenza o meno, mi verrebbe che diverge!
$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$ dove \alpha = 2

ma converge se \alpha > 2 e diverge se \alpha \le 2 e quindi direi che diverge a +\infty (in contraddizione con la convergenza che mi risultava prima!)

Re: integrale improprio

Inviato: mercoledì 9 luglio 2014, 22:54
da GIMUSI
stai solo facendo un po' di confusione...l'integrale

$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$ dove \alpha = 2

è del tipo "Analisi 1" e converge per \alpha>1

se riguardi bene la lezione 54 è spiegato con chiarezza :)

Re: integrale improprio

Inviato: giovedì 10 luglio 2014, 19:22
da volm92
Ok, ti ringrazio, come sempre :)

Re: integrale improprio

Inviato: venerdì 11 luglio 2014, 17:09
da andi
Buonasera,
non riesco a valutare i valori di \alpha per cui il seguente integrale converga:
$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!

Re: integrale improprio

Inviato: venerdì 11 luglio 2014, 23:05
da GIMUSI
andi ha scritto:Buonasera,
non riesco a valutare i valori di \alpha per cui il seguente integrale converga:
$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!


allego un possibile svolgimento...all'inizio pensavo si potesse fare più rapidamente come suggerirebbe l'amico brutale

volendolo fare per bene con il criterio asintotico ho dovuto considerare due casi...non escludo si possa fare in modo più furbo :roll: