integrali tripli 1

Integrali multipli, anche impropri
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matt_93
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integrali tripli 1

#1 Messaggioda matt_93 » domenica 11 maggio 2014, 20:00

ho un problema con questo integrale,
z^{2}+\sin x con dominio in 0\leq z\leq x^{2}+y^{2}\leq1

non posso usare le coordinate cilindriche/sferiche per quel sinx, in più non riesco a svolgerli né per colonne, né per sezioni perché continua a restarci una variabile di impiccio! help!

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Re: integrali tripli 1

#2 Messaggioda GIMUSI » domenica 11 maggio 2014, 21:12

il dominio mi pare sia un cilindro circolare di raggio unitario con asse in z (da 0 a 1)

per prima cosa conviene separare l'integrale nella somma dei due termini z^2 e senx

la parte relativa a z^2 è facilmente integrabile

la parte relativa a \sin x è nulla perché la funzione è antisimmetrica nel dominio
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Re: integrali tripli 1

#3 Messaggioda matt_93 » domenica 11 maggio 2014, 21:46

c'è qualcosa che non quadra.....il domini di integrazione è un paraboloide.
Se considero il pezzo z=x^{2}+y^{2} la figura che se ne uscirebbe fuori sarebbe una parabola che parte in (0,0,0) e tenderebbe all'infinito ma z è minore di 1, quindi essa si arresta a 1.
Dunque il volume descritto è il volume all'interno del paraboloide descritto.

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Re: integrali tripli 1

#4 Messaggioda GIMUSI » domenica 11 maggio 2014, 21:51

matt_93 ha scritto:c'è qualcosa che non quadra.....il domini di integrazione è un paraboloide.
Se considero il pezzo z=x^{2}+y^{2} la figura che se ne uscirebbe fuori sarebbe una parabola che parte in (0,0,0) e tenderebbe all'infinito ma z è minore di 1, quindi essa si arresta a 1.
Dunque il volume descritto è il volume all'interno del paraboloide descritto.


a beh allora lo riguardo meglio... :roll:

ma non è z \le x^{2}+y^{2}?
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Re: integrali tripli 1

#5 Messaggioda matt_93 » domenica 11 maggio 2014, 21:53

si, è minore uguale ma adesso l'ho considerato solo uguale, il concetto era un esempio! :D

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Re: integrali tripli 1

#6 Messaggioda GIMUSI » domenica 11 maggio 2014, 22:16

matt_93 ha scritto:si, è minore uguale ma adesso l'ho considerato solo uguale, il concetto era un esempio! :D


mi pare che il dominio siano i punti compresi tra il cilindro circolare di raggio unitario con asse in z e il paraboloide z=x^2+y^2 (per z da 0 a 1)

il discorso su \sin x non cambia...il sua contributo è nullo

allego lo svolgimento revisionato...attendo un tuo parere :)
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Re: integrali tripli 1

#7 Messaggioda matt_93 » domenica 11 maggio 2014, 22:54

si, così mi tornerebbe!
come sempre il problema è rappresentare il dominio di integrazione.
un'ultima domanda: mi puoi spiegare più dettagliatamente perché sinx se ne va via? sono un po' duro!

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Re: integrali tripli 1

#8 Messaggioda GIMUSI » lunedì 12 maggio 2014, 11:41

matt_93 ha scritto:un'ultima domanda: mi puoi spiegare più dettagliatamente perché sinx se ne va via? sono un po' duro!


il dominio è simmetrico rispetto all'asse y...la funzione \sin x è antisimmetrica, quindi per ogni y

\sin(x)=-\sin(-x)

quindi i contributi sulle due parti simmetriche del dominio hanno segno opposto e si annullano
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