Integrale doppio.

Integrali multipli, anche impropri
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DaroB94
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Integrale doppio.

#1 Messaggioda DaroB94 » mercoledì 2 aprile 2014, 8:33

L'esercizio in questione è il quart'ultimo a pagina 29 della raccolta Esercizi di analisi 2

sarebbe:

\displaystyle\int_{0}^{2\pi}dx\int_{0}^{2\pi}(x-y)^2\cos(x+y)\,dy

La prima parte che torna 8\pi^2 mi torna, quella che non mi torna è la 2° parte in cui gli estremi d'integrazione rispetto a y vengono cambiati da [0,  2\pi] a [\pi, 2\pi]

A me infatti la soluzione torna 4pigreco*[ycosy - siny], questra tra 0 e 2pigreco torna 4pigreco*[2pigreco-0-0+0] ma tra pigreco e 2pigreco torna 4pigreco*[2pigreco-0+pigreco+0] = 12pigreco invece di 4pigreco come sulla soluzione
(poichè ycosy per y=pigreco fa -pigreco)

Avrò sbagliato qualcosa nei calcoli o da qualche altra parte?

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GIMUSI
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Re: Integrale doppio.

#2 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 2 aprile 2014, 11:43

io l'ho fatto integrando per parti il primo

si ottiene:

4\pi^2 \sin y-4\pi y \sin y + 4\pi \cos y

nell'integrazione successiva il primo e terzo termine sono nulli e quindi resta da integrare solo il terzo ottenendo 8\pi^2
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Re: Integrale doppio.

#3 Messaggioda DaroB94 » mercoledì 2 aprile 2014, 14:45

Ma infatti quella parte mi torna, non mi torna il fatto che se si integra rispetto a y tra Pi e 2Pi, invece che tra 0 e 2Pi,
si ottenga 4Pi^2 (mentre a me torne 12Pi^2)

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Re: Integrale doppio.

#4 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 2 aprile 2014, 15:11

DaroB94 ha scritto:Ma infatti quella parte mi torna, non mi torna il fatto che se si integra rispetto a y tra Pi e 2Pi, invece che tra 0 e 2Pi,
si ottenga 4Pi^2 (mentre a me torne 12Pi^2)


ops scusa non avevo capito quale fosse il problema

come detto prima, fatta l'integrazione (per parti) rispetto a x tra 0 e 2\pi si ottiene:

4\pi^2 \sin y-4\pi y \sin y + 4\pi \cos y

e integrando questa rispetto a y tra \pi e 2\pi:

il primo termine dà -8\pi^2 il secondo 12\pi^2 e il terzo termine dà contributo nullo
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Re: Integrale doppio.

#5 Messaggioda volm92 » sabato 17 maggio 2014, 18:01

Buonasera, ho un problema con il seguente integrale:
\int_0^1\int_0^1ye^{xy} dxdy

Ho iniziato ad integrare rispetto ad y, e dopo un integrale per parti sono arrivato alla seguente forma:
\int_0^1\bigl ( \frac {e^x}{x}-\frac {e^x}{x^2}+\frac {1}{x^2}\bigr)dx

Il problema è che non riesco ad integrare in primis \frac {e^x}{x}

Un aiutino? Grazie :)

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Re: Integrale doppio.

#6 Messaggioda volm92 » sabato 17 maggio 2014, 18:31

Ho risolto integrando prima rispetto ad x e poi rispetto ad y;
Ma come avrei potuto continuare nell'altro modo? :D

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Re: Integrale doppio.

#7 Messaggioda GIMUSI » sabato 17 maggio 2014, 19:54

volm92 ha scritto:Ho risolto integrando prima rispetto ad x e poi rispetto ad y;
Ma come avrei potuto continuare nell'altro modo? :D


infatti partendo da x diventa banale...partendo da y vengono fuori funzioni un po' antipatiche e che non si fanno integrare volentieri

usando un po' di integrazione per parti si riesce comunque ad arrivare in fondo...allego lo svolgimento nei due modi :mrgreen:
Allegati
140517 - integrali multipli 03.pdf
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