Pagina 1 di 1

Integrali tripli

Inviato: venerdì 7 marzo 2014, 10:01
da Filippo.ingrasciotta
Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

\iiint 1 dxdydz sul dominio D: 2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1

\iiint x^2 dxdydz sul dominio D: x^2 + y^2 + z^2 +xy+yz+zx \leq 18

Re: Integrali tripli

Inviato: venerdì 7 marzo 2014, 16:46
da ghisi
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

\iiint 1 dxdydz sul dominio D: 2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1


In questo caso il dominio è un ellissoide quindi basta fare il cambio di variabili che lo riporta ad una sfera.

Filippo.ingrasciotta ha scritto:\iiint x^2 dxdydz sul dominio D: x^2 + y^2 + z^2 +xy+yz+zx \leq 18


Il dominio lo puoi scrivere come

\displaystyle \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + 2xy + x^2 + z^2 + 2xz + y^2 +z^2 +2yz)

e da qui un semplice cambio di variabili lo riporta ad una sfera.

Re: Integrali tripli

Inviato: lunedì 24 marzo 2014, 16:38
da Filippo.ingrasciotta
ghisi ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

\iiint 1 dxdydz sul dominio D: 2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1


In questo caso il dominio è un ellissoide quindi basta fare il cambio di variabili che lo riporta ad una sfera.


Il cambio di variabili l'ho fatto ma non mi torna con il risultato del libro....
Allora ho preso tre nuove variabili e imposto che

u=\sqrt2 x
w= \sqrt3 y
v= \sqrt5 z

Così facendo mi viene lo jacobiano = \sqrt30

E l'integrale diventa \iiint 1 dudvdw su u^2 + w^2 + v^2 \leq 1

Quindi passò in coordinate sferiche facendo diventare l'integrale :
\iiint \rho^2 cos\psi d\rho d\psi d\theta con \rho [0,1]    \theta [0, 2\pi]      \psi [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}].

E svolgendo i conti il risultato mi viene \frac{4\pi\sqrt30}{3}

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente

Re: Integrali tripli

Inviato: lunedì 24 marzo 2014, 17:25
da GIMUSI
Filippo.ingrasciotta ha scritto:
E svolgendo i conti il risultato mi viene \frac{4\pi\sqrt30}{3}

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente


mi pare che il termine \sqrt30 vada al denominatore

quando calcoli lo jacobiano: du dw dv = \sqrt30 dx dy dz

quindi dx dy dz = (1/\sqrt30) du dv dw

Re: Integrali tripli

Inviato: lunedì 24 marzo 2014, 19:34
da Filippo.ingrasciotta
GIMUSI ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:
E svolgendo i conti il risultato mi viene \frac{4\pi\sqrt30}{3}

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente


mi pare che il termine \sqrt30 vada al denominatore

quando calcoli lo jacobiano: du dw dv = \sqrt30 dx dy dz

quindi dx dy dz = (1/\sqrt30) du dv dw



Dal libro "Schede di analisi matematica " Di Massimo Gobbino e Marina Ghisi a pag 147 ho trovato questa formula che appunto ho riutilizzato
\int f(x,y) dx dy = \int g(u,v) * J(u,v) du dv

dove è stato fatto il cambio il cambio di variabile, e l'integrale di g(u,v)*J(u,v) integrato su l'insieme in cui variano u e v quando x e y variano nel dominio di partenza.

J(u,v) è il valore assoluto del determinante jacobiano. Quindi credo che dxdydz=\sqrt30dudvdw

Re: Integrali tripli

Inviato: lunedì 24 marzo 2014, 21:54
da GIMUSI
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Dal libro "Schede di analisi matematica " Di Massimo Gobbino e Marina Ghisi a pag 147 ho trovato questa formula che appunto ho riutilizzato
\int f(x,y) dx dy = \int g(u,v) * J(u,v) du dv

dove è stato fatto il cambio il cambio di variabile, e l'integrale di g(u,v)*J(u,v) integrato su l'insieme in cui variano u e v quando x e y variano nel dominio di partenza.

J(u,v) è il valore assoluto del determinante jacobiano. Quindi credo che dxdydz=\sqrt30dudvdw


a parte le formule generali con il cambiamento di variabili considerato l'elementino di volume

dV=dxdydz

con

dx=du/\sqrt2

dy=dw/\sqrt3

dz=dv/\sqrt5

diventa

dV=dudwdv/\sqrt30

quindi credo proprio che il termine \sqrt30 vada al denominatore

tornando allo jacobiano la relazione da considerare dovrebbe essere la seguente

dxdydz=J(u,w,v)dudwdv

dove

J(u,w,v)=
\begin{vmatrix}
  \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
   \frac{\partial y}{\partial u} &  \frac{\partial y}{\partial w} &  \frac{\partial y}{\partial v} \\
   \frac{\partial z}{\partial u} &  \frac{\partial z}{\partial w} &  \frac{\partial z}{\partial v}
 \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
  \frac{1}{\sqrt2} & 0 & 0 \\
  0 &  \frac{1}{\sqrt3}  & 0 \\
  0 & 0 &   \frac{1}{\sqrt5} 
 \end{vmatrix}
= \frac{1}{\sqrt30}

[EDIT}
ho corretto un errore nella terza riga dello jacobiano
\frac{\partial y}{\partial w} al posto di \frac{\partial z}{\partial w}

Re: Integrali tripli

Inviato: martedì 25 marzo 2014, 8:50
da Filippo.ingrasciotta
Bene ho trovato l'errore, avevo sbagliato lo Jacobiano, mi scuso con gimusi se magari sono stato troppo insistente, il risultato del libro adesso torna è bastato razionalizzare

Re: Integrali tripli

Inviato: martedì 25 marzo 2014, 10:48
da GIMUSI
figurati...non sei stato per nulla insistente...è normale confrontarsi qui sul blog..ed è per tutti un'occasione per imparare e verificare le conoscenze :)